等比数列的前n项和教学设计

第页共页等比数列的前n项和教学设计等比数列的前n项和教学设计等比数列的前n项和教学设计篇1一、教材分析^p：等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3.3节的内容。它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。这局部内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分提醒公式的构造特征和内在联络。意在培养学生类比分析^p、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。在高考中占有重要地位。二、教学目的根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知程度和年龄特点，确定本节课的教学目的如下：1.知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。2.过程与方法：通过公式的推导过程，进步学生的建模意识及探究问题、类比分析^p与解决问题的才能，培养学生从特殊到一般的思维方法，浸透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。3.情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探究的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、构造的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。难点：等比数列的前项和公式的推导。重难点确定的根据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识根底，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进展，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯穿；从学生认知程度来看，学生的探究才能和用数学语言交流的才能还有待进步。四、教法学法分析^p通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探究中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，五、教学过程〔一〕创设情境，引入新知从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的创造者，创造者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。结果是国王倾尽国家财力还不够支付。同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？关键就在于计算麦粒的总数。很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+……+263？〔二〕师生讨论、探究新知总结归纳：当q=1时，Sn=na1当q≠1时，公式说明：①对等比数列{an}而言，a1，an，Sn，n，q知三可求二②运用公式时要根据条件选取适当的公式，特别注意的是，在公比不知道的情况下要分类讨论；③错位相减的思想方法。〔三〕例题讲解，形成技能例1：等比数列{an}中，①a1=－4，q=1/2，求S10②a1=1，an=243，q=3，求Sn③a1=2，S3=26，求q。通过例题一，浸透知三求二的思想。练习：求等比数列1，－1/2，1/4,－1/8，…，－1/512的各项的和。例2.等比数列{an}中，a1=3，S3=9，求q，an。练习：等比数列{an}中，假设S3=7/2,S6=63/2，求an、S9。通过练习得出等比数列前项和的一个性质：成等比数列。例3：〔1〕求数列1+1/2，2+1/4,3+1/8，…n+，…的前n项和。首先由学生分析^p思路，观察出这组数列的特点，它既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差加等比。归纳出这类数列求和的方法。考虑：求和：1+a+a2+a3+…+an〔四〕课堂小结以问题的形式出现，引导学生回忆公式、推导方法，鼓励学生积极答复，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。设计意图：以此培养学生的口头表达才能，归纳概括才能。六、板书设计略七、课后记本节课的设计表达呢“以学生为主体，老师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中军设计了问题，始终以老师提出问题，引导学生解决问题的方式进展，让课堂活动变得生动而愉悦。等比数列的前n项和教学设计篇2一、教材分析^p1、从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着亲密的联络。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所浸透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析^p、归纳、猜测，有助于培养学生的创新思维和探究精神,是培养学生应用意识和数学才能的良好载体。2、从学生认知角度来看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进展类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个打破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易无视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。3、学情分析^p教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析^p问题和解决问题的才能，逻辑思维才能也初步形成，但对问题的分析^p缺乏深化性和严谨性。4、重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点：公式的推导方法和公式的灵敏运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。二、目的分析^p1、知识与技能目的：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。2、过程与方法目的：通过公式的推导过程，培养学生猜测、分析^p、综合的思维才能，进步学生的建模意识及探究问题、分析^p与解决问题的才能，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，浸透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。3、情感态度与价值观：通过经历对公式的探究，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探究、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、构造的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。三、教学方法与教学手段本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学形式。四、教学过程分析^p学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与开展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学形式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的才能。1、创设情境，提出问题一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口容许了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕受骗受骗,所以很为难。”请在座的同学考虑讨论一下,穷人能否向富人借钱?启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。学生直觉认为穷人可以向富人借钱，老师引导学生自主探求，得出：穷人30天借到的钱：〔万元〕穷人需要还的钱：?2、学生探究，解决情境〔2〕老师紧接着把如何求？的问题让学生探究，①假设用公比2乘以上面等式的两边，得到②假设②式减去①式，可以消去一样的项，得到：(分)≈1073(万元)＞465〔万元〕由此得出穷人不能向富人借钱【设计意图】留出时间让学生充分地比拟，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在老师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维才能。解决情境问题：经过比拟、研究，学生发现：〔1〕、〔2〕两式有许多一样的项，把两式相减，一样的项就可以消去了，得到：≈1073(万元)＞465〔万元〕。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么〔1〕式两边要同乘以2呢？【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探究过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。3、类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进展指导。一般等比数列前n项和：即方法：错位相减法这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？在学生推导完成之后，我再问：由得【设计意图】在老师的指导下，让学生从特殊到一般，从到未知，步步深化，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。4、小组合作，交流展示探究1、求和探究2、求等比数列的第5项到第10项的和。方法1：观察、发现：。方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。探究3：求的前n项和。【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知构造的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识。解题时，以学生分析^p为主，老师适时给予点拨。5、总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回忆公式、推导方法，鼓励学生积极答复，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。1、等比数列的前n项和公式2、数学思想：〔1〕分类讨论〔2〕方程思想3、数学方法：错位相减法【设计意图】以此培养学生的口头表达才能，归纳概括才能。6、当堂检测〔1〕口答：在公比为q的等比数列中假设，那么________，假设，那么________假设=3，=81，求q及，假设，求及q。〔2〕判断是非：①〔〕②〔〕③假设③且，那么〔〕【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的根本量及构造特征，识记公式,并加强计算才能的训练。7、课后作业，分层练习必做：P30习题1—3A组第1题，选作题1：求的前n项和(2)考虑题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所开展。让学有余力的学生有考虑的空间，便于学生开展自主学习。五、评价分析^p本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式。错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联络，提醒本质；学生从中深化地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深化性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过展示交流，学生点评，老师总结，使学生既稳固了知识，又形成了技能，在此根底上，通过民主和谐的课堂气氛，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探究、不断创新的思维品质，形成学习才能。六、教学设计说明1、情境设置生活化。本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步理解“数学来于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。2、问题探究活动化。教学中本着以学生开展为本的理念，充分给学生想的时间、说的时机以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断合作和交流，开展学生的数学观察才能和语言表达才能，培养学生思维的发散性和严谨性。3、辨析质疑构造化。在理解公式的根底上,及时进展正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习。通过总结、辨析和反思，强化了公式的构造特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。4、稳固进步梯度化。例题通过公式的正用和逆用进一步进步学生运用知识的才能；由教科书中的例题改编而成，并进展适当的变式,可以进步学生的形式识别的才能，培养学生思维的深化性和灵敏性。5、思路拓广数学化。从整理知识提升到强化方法，由课内稳固延伸到课外考虑，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为进步学生素质的有效途径。以生活中的实例作为考虑，让学生认识到数学来于生活并应用于生活，生活中处处有数学。6、作业布置弹性化。通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步开展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，进步学生的数学素养。七．教学反思学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原那么和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规那么学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于打破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化稳固所学，反应验证本节教学目的的落实。其中，案例是根底，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生稳固知识，举一反三。在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完好的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变老师讲、学生听的填鸭式教学形式，充分表达学生是主体，老师教学效劳于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解稳固与应用，也培养了思维才能。这节课总体上感觉备课比拟充分，各个环节相衔接，可以形成一节完好就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握根本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生考虑的时间，以学生为主体。亮点之处：学生成为课堂的主体，老师要甘当学生的绿叶由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑考虑、动笔去做的现象。老师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去考虑，让学生去探究。不怕学生出错，就是让学生可以在探究中增强思维才能、解题技能和计算经历。特别是在例3中，老师针对题目做了简要的分析^p和提示，让学生去尝试着解题。张漫同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完好。只是结果出现了一个小错误，老师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。等比数列的前n项和教学设计篇3一、教学背景分析^p1．教学内容分析^p本节课是高中数学〔北师大版必修5〕第一章第3节第二课时,是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着亲密的联络，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。而且公式推导过程中所浸透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。本节以数学文化背境引入课题有助于提升学生的创新思维和探究精神,是进步数学文化素养和培养学生应用意识的良好载体。2．学情分析^p从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进展类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个打破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易无视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二理科班的学生，虽然具有一定的分析^p问题和解决问题的才能，逻辑思维才能也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活泼、敏捷，却缺乏冷静、深化，因此片面、不完全。二．教学目的根据新课程标准及教材内容，结合学生的认知开展程度和心理特点，确定本节课的.教学目的如下：1.知识与技能目的:理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。2．过程与方法目的：感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，浸透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步进步学生的建模意识和探究、分析^p与解决问题的才能。3.情感与态度目的：通过经历对公式的探究过程，对学生进展思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探究、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学的奇异美、构造的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。三．重点,难点教学重点：等比数列前“等比数列的前n项和”项和公式的推导及其简单应用。教学难点：公式的推导思想方法及公式应用中q与1的关系。四．教学方法启发引导，探究发现，类比。五．教学过程〔一〕借助数学文化背境提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，创造了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？【设计意图】：设计这个数学文化背境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容也紧扣本节课的主题与重点。问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数“等比数列的前n项和”〔二〕师生互动，探究问题问题2：“等比数列的前n项和”有些学生会说用计算器来求〔老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比拟难求。〕问题3：同学们，我们来分析^p一下这个和式有什么特征？〔学生会发现，后一项都是前一项的2倍〕问题4：假如我们把〔1〕式每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们假设在此等式两边同以2，得到〔2〕式：“等比数列的前n项和”比拟〔1〕(2〕两式，你有什么发现？〔学生经过比拟发现：〔1〕、〔2〕两式有许多一样的项〕问题5：将两式相减，一样的项就消去了，得到什么呢？。〔学生会发现：“等比数列的前n项和”【设计意图】：这五个问题层层深化，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易承受为什么要错位相减，经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇。问题6：老师指出这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思为什么〔1〕式两边要同乘以2呢？【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，让学生对错位相减法有一个深化的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫。〔三〕类比联想，构建新知这时我再顺势引导学生将结论一般化。问题7：如何求等比数列“等比数列的前n项和”的前“等比数列的前n项和”项和“等比数列的前n项和”：即:“等比数列的前n项和”(学生互相合作,讨论交流，老师巡视课堂，并请学生上台板演。)注：学生已有上面问题的处理经历，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，老师可放手让学生探究。将“等比数列的前n项和”两边同时乘以公比“等比数列的前n项和”后会得到“等比数列的前n项和”，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前“等比数列的前n项和”项和的关键所在，让学生先考虑，再讨论，最后师在突出强调，加深印象。两式作差得到“等比数列的前n项和”时，肯定会有学生直接得到“等比数列的前n项和”，不忙揭露错误，后面再反应这个易错点，从而掌握公式的本质。【设计意图】：在老师的指导下，让学生从特殊到一般，从到未知，步步深化，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成就感。增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。问题8:由“等比数列的前n项和”得“等比数列的前n项和”对不对呢？这里的“等比数列的前n项和”能不能等于1呀？等比数列中的公比能不能为1？那么“等比数列的前n项和”时是什么数列？此时“等比数列的前n项和”？你能归纳出等比数列的前n项和公式吗？〔这里引导学生对“等比数列的前n项和”进展分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下根底。〕再次追问：结合等比数列的通项公式“等比数列的前n项和”,如何把“等比数列的前n项和”用“等比数列的前n项和”、“等比数列的前n项和”、“等比数列的前n项和”表示出来？〔引导学生得出公式的另一形式〕公式：“等比数列的前n项和”注：公式的理解知三求二：nqa1anSn；n的含义：项数〔通项公式是qn－1〕；q的含义：公比〔注意q=1，分类讨论〕；错位相减法：乘公比〔作用是构造许多一样项〕后错开一项后再减。【设计意图】：通过反问学生归纳，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识构造，另一方面使学生由简单地模拟和承受，变为对知识的主动认识，从而进一步进步分析^p、类比和综合的才能。这一环节非常重要，尽管仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。〔四〕讨论交流，延伸拓展问题9:探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？“等比数列的前n项和”〔学生讨论交流，老师指导。依学生的认知程度可能会有以下几种方法〕〔1〕错位相减法“等比数列的前n项和”〔2〕提出公比q“等比数列的前n项和”〔3〕累加法【设计意图】：以疑导思，激发学生的探究