高考数学25个必考点专题09向量基本应用检测

专题09向量的基本应用一、基础过关题1.（2018上海高考）在平面直角坐标系中，已知点、，、是y轴上的两个EF动点，且，则的最小值为______．【答案】据题意可设，，进而得出，即，或，并可求得，将带入上式即可求出的最小值，同理将带入，也可求出的最小值．考察依据点的坐标求两点间的距离，依据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数目积运算，二次函数求最值的公式．2．(2015·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1【答案】2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2【分析】∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在独一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)建立，即λa＋b＝μa＋2μb，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(λ＝μ，则得1＝2μ，,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(λ＝μ，,1＝2μ，4\o(\s\up11(1解得λ＝μ＝2,4\o(\s\up11(1,2.3.(2016·滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c知足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(13【答案】5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(13,54．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()\*hps24\o(\s\up11(1A.4,\*hps24\o(\s\up11(1,4B.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(12,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2C．1D．2【答案】B【分析】∵＋λ＝(1＋λ，2)，＝(3,4)，abc2且(a＋λ)∥cEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1＋λ，∴3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1＋λ,3bEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2＝,4，∴λ＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1，应选B.2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,25．(2017·淮南质检)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1A．(－2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2，5)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1B．(,2，5)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1C．(2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2，－5)D．(－EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(12,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2，－5)【答案】D【分析】∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1∴＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2＝alibri"\*hps24\o(\s\up11(1(2,alibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2，5)，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1∴＝(－2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2，－5)．6．若向量a，b知足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于()A．2B．2C．4D．12【答案】B【分析】|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°3*hps24\o(\s\up11(1＝4＋4＋2×2×2×2,*hps24\o(\s\up11(1,2＝12，|＋|＝2.ab7．(2016·山西四校二联)已知平面向量a，b知足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为()EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1A．－2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2B．－EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2C.i"\*hps24\o(\s\up11(12,i"\*hps24\o(\s\up11(1,2D.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2【答案】D如图，在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三平分点，则·等于()EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(8A.9,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(8,9B.4\o(\s\up11(109,4\o(\s\up11(10,9C.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(259,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(25,9D.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(269,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(26,9【答案】B4【分析】若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三平分点，则·＝(＋)·(＋)＝·o(\s\up11(2＝·＝9,o(\s\up11(2,92＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(29,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2,92＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(59,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(5,9·EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2＝9,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2,9×(1＋4)＋0＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(109,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(10,9.应选B.9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且知足＝2，则·(＋)的值为________．【答案】－4【分析】由题意得，AP＝2，PM＝1，因此·(＋)＝·22×2×1×cos180°＝－4.10．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.【答案】4511．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；若＝2，求点C的坐标．【答案】(1)a＋b＝2.点C的坐标为(5，－3)．【分析】(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴∥.2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a－1＝4，b－1＝－4，,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a－1＝4，,b－1＝－4，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＝5，解得b＝－3.,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＝5，,b＝－3.∴点C的坐标为(5，－3)．12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.求a与b的夹角θ；求|a＋b|；若＝a，＝b，求△ABC的面积．6EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2【答案】(1)θ＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(2,3π..|a＋b|＝.S△ABC＝3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，因此|a＋b|＝.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2(3)由于与的夹角θ＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,3π，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π因此∠ABC＝π－3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1||||·sin∠ABC＝因此S△ABC＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1×4×3×2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3＝3.2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2二、能力提升题如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不一样的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为()7A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】∵O为BC的中点，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1∴＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2(＋)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2(m＋n)＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(m2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(m,2＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(n2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(n,2，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(m∵M，O，N三点共线，∴2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(m,2＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(n2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(n,2＝1，∴m＋n＝2.2.设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为________．【答案】60°83．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3S∈[2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2]，则与夹角的取值范围是________．EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π【答案】[6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,6，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π]4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4【分析】由三角形面积公式及已知条件知EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2≤S△ABC＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(12,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,2AB·BCsinB≤EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,2，因此≤AB·BCsinB≤3，①由·＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3因此AB·BC＝－cosB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,cosB，代入①得，≤－EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3sinBcosB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3sinB,cosB≤3，9EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3因此－1≤tanB≤－3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3,3，所EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3π以4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(3π,4≤B≤EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(5π6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(5π,6，而与的夹角为π－B，其取值范围为EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π[6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,6，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4]．如下图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设＝λ，将用λ，，表示；EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1(2)设＝x，＝y，证明：x,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,x＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1y,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,y是定值．【答案】(1)＝(1－λ)＋λ；EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1(2)x,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1,x＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(1y,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s