数学概念的理解与教学课件

数学概念的理解与教学有效教学的关键理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；初中数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。当前概念教学的问题不重视章节起始课的教学，没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．有些老师不知如何教概念．概念教学的核心概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。概念教学的基本环节典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——建立与相关概念的联系。代数学的基本思想：有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；作为数及其运算的推广。方程——未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程——由代数方程式确定其中的“未知数”的值；解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。一元一次方程是基础，其它都用消元、降次转化为一元一次方程。方程问题，从元的增加、次数的增加两个方向，依照由简到繁、由易到难顺次展开。从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化——从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映——不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义——变化规律由k，b决定。其他函数也类似。乘法公式蕴含的思想方法乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）a=c，b=－d时有平方差公式；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。教学过程设计1．复习与引入问题1

前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。2．公式的探究问题2

(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。问题3

请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。3．例题本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或(a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。4．公式的多元联系表示问题4

如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4……。虽然这不是“课标”要求的，但对学生思维发展是有好处的。例3

函数概念的理解和教学被扭曲的函数概念教学举例：（1）只在形式化变形上下功夫如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(3,0)，对程轴为x=1，给出下列四个结论：①b＞4ac，②bc＜0，③2a+b=0，④a+b+c=0，其中正确的结论是

。（2）与平面几何知识的叠加关于函数概念的理解说文解字：函——信函，传递和交流信息的书面形式。引申为（有顺序的）对应关系。函数的来源：函数来源于运动，是应“科学的数学化”之所需。“数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间的关系——的概念。”（M·克莱因）函数概念的本质函数概念的本质：两个变量之间的一种特殊的对应关系。“函数”不是一个数，而是一个对应关系。函数概念所反映的基本思想：运动变化的思想。教学的核心任务：让学生体验“一个量随着另一个量的变化而变化”的过程——只有数字、图形游戏是办不到的。函数概念的发展简史背景：17世纪，科学家们致力于对运动的研究。如计算天体的位置，长距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。涉及两个变量之间的关系，要根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程。莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，贝努利强调函数要用公式表示。1755年，欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。1837年，狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”。1870年代，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合与对应语言表述。映射的语言定义函数则是更晚的事情了。函数概念的教学要点为学生铺设概括函数概念的通道；精选实际例子——从实例出发，在函数概念的引入、表示、性质和应用等阶段都要注意使用实际例子，为学生提供理解函数概念的“参照物”。一个好例子胜过一千次说教。不在字面含义、形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释具体问题。围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化而变化等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、函数建模等。例4一次函数的例题教学一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按照上网时间计费。如何选择收费方式能使上网更合算？通常的做法：列出函数解析式，画出函数图像看出相交，再解二元一次方程组得交点坐标，结合图像，给出回答；或者引入“差额函数”，借助与x轴的交点作答。充分挖掘本题的教学价值问题1

10分两种方式收费各多少？20分呢？50分呢？——引导学生采用多种表征方式，用表格法很方便。时间（分）0102030405060方式A01.02.03.04.05.06.0方式B20.020.521.021.522.022.523.0问题2为什么可以用射线表示收费情况？问题3为什么方式A的图像经过原点，而方式B的图像经过点（0，20）？问题4如何找到上网a分时的两种方式各收费多少？问题5计费方式的哪些方面在表格或图像中表现出来了？（两组数的差是常数；每多上网1分，就要再付0.1元或0.05元）。问题6如果你不常上网，选哪种方式更合算？如果常上网呢？问题7如果你想尽量长时间上网，但又不想让费用超过40元，该选哪种方式？问题8如果方式A收取基费，或方式B提高基费，对图像有什么影响？（截距问题）问题9如果方式A决定将每分0.1元提高到每分0.15元，它的图像有什么变化？（斜率问题）问题10如果方式A改为不足1分按1分算，请画出图像。（阶梯形）问题11哪种函数表示法更容易得到收费相等的时间点？问题12哪种函数表示法更容易看出每分的收费标准？问题13如何从表格中确定收费标准？问题14如何从图像上确定收费增加快慢？问题15如何从图像上看出用哪种方式更经济？例5

平行四边形的判定核心：判定与性质的逻辑关系，以此为载体，培养合情推理、逻辑推理的能力教学过程的设计要点：复习——怎样复习？不只是罗列知识点提出判定定理的学习任务，由定义可以判定（讲清条件：两组对边互相平行），但条件的表现形式是多样化的，根据不同条件更灵活地判断——学习判定定理的理由从操作开始，还是从逆命题开始？暂时认同先操作：操作——猜想“两组对边相等的四边形为平行四边形”——证明——接着干什么？（与性质定理比较）后续的猜想，可以从性质出发。如果还不做，则在小结时无论如何要说。当前存在的问题没有关注思维的自然，逻辑推理能力的培养，停留在“实验——猜想——证明——应用”的模式上。过度依赖实验，降低了平面几何的教育价值。该推理时不推理，该证明时不证明——从一般到特殊、逆命题等，都“该证明”。例6用频率估计概率如何理解频率？——随机变量，随试验结果的改变而改变。概率，随机的还是确定的？事件A出现的概率为0，A是不可能事件吗？事件A出现的概率为1，A是必然事件吗？如何理解用频率估计概率的必要性？用抛掷硬币、掷骰子的例子好不好？姚明投篮：在姚明罚球出手的一刹那，画面停止，问“姚明罚进的概率有多大？”接着该干什么？——姚明罚球的命中率客观存在，如果知道该值的大小，对对方球队决策有帮助。如果该值小，罚球得分的可能性小，可以考虑犯规后“随你投”；否则考虑不犯规。水到渠成地，提问：“如何求命中率？”现实中，通过统计历史的罚球记录来得到罚球的命中率，即用频率估计概率。如果知道一个随机事件发生的可能性的大小——概率，有助于我们做决策，所以要想办法知道它。概率的统计定义——用频率估计概率——一种得到概率的方法。正确理解“用频率估计概率”一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p。只要试验的次数n足够大，频率m/n就可以作为概率p的估计值。只有大量试验的频率才能作为概率的估计吗？——到底多少次是“足够大”？频率总可以作为概率的估计，试验次数影响的是估计精度。次数由问题需要而定。“用频率估计概率”与“用频率的稳定值估计概率”等价吗？“频率的稳定值是概率的估计”—对吗？正确理解：频率的稳定值就是概率。注意：仅从试验无法知道频率的稳定值是多少。下表是课堂实时收集的抛硬币试验数据，由此能说“稳定值是0.5而不是0.52”吗？次数n50100150200250300350频数m245485109125157182频率0.4800.5400.5670.5450.5000.5230.520“频率不准确”，“试验次数少，所以频率不准确”，“随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率”，这些说法对吗？频率没有准确性标准，随试验结果而定；试验次数影响的是概率估计的精度；试验次数增加并不能绝对保证频率越来越接近概