2021-2022学年山东省青岛大学附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省青岛大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．已知a＞b，则下列选项不正确的是（）A．a+c＞b+c B．a﹣b＞0 C． D．a•c2≥b•c23．若等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．8cm4．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a|＝|b| B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．若a＞0，b＞0，则a+b＞05．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝46．直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≤2 B．x≤0 C．x≥2 D．x≥07．如图，将线段AB先绕原点О按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．5 B．8 C．10 D．7二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分）9．分解因式：2a2﹣8的结果为．10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率等于5%，则该商品应该打折．11．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．12．如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点，当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝130°，则∠BEC＝．13．如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为cm（保留根号）．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是．三、作图题（本题满分4分）不写作法，但要保留作图痕迹.15．已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．四、解答题（本题满分74分、共有8道小题）16．分解因式：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．17．解不等式组，请把解集在数轴上表示，并写出它的所有整数解．18．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．19．阅读理解：材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）解决问题：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；②x3﹣5x+2．（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明．21．电影《水门桥》以抗美援朝战争中第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史．71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军队国威．某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织两名老师和50名学生进行观影活动，电影院的价格如表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）会员价（元/张）寻常票价成人票价（元/张）学生票价（元/张）406050由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，没有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元；（1）若购买电影票的全部费用不超过2400元，则有会员卡的学生至少有多少人？（2）若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值．22．新知学习：在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly＝n．如图①，图形W在x轴上的投形长度lx＝|3﹣1|＝2；在y轴上的投影长度ly＝|4﹣0|＝4．初步运用：（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图②所示，若图形W为△OAB，则lx＝，ly＝．（2）在图②的基础上，将△OAB绕点О逆时针旋转90°得△OCD，若图形W为△OCD，则lx＝，ly＝．（3）在图②的基础上，将△OAB绕点О顺时针旋转45°得△OEF，若图形W为△OEF，则lx＝，ly＝．提升拓展：（4）如图③，已知点C（4，0），点D在直线y＝﹣2x+6上，若图形W为△OCD，当lx＝ly时，求点D的坐标．23．知：把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∠A＝30°，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEE从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发．以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动．点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段CQ＝，线段AP＝．（2）当t为何值时，∠BPE＝90°．（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上．（4）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．已知a＞b，则下列选项不正确的是（）A．a+c＞b+c B．a﹣b＞0 C． D．a•c2≥b•c2【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．解：A．∵a＞b，∴a+c＞b+c，故本选项不符合题意；B．∵a＞b，∴a﹣b＞b﹣b，∴a﹣b＞0，故本选项不符合题意；C．∵a＞b，∴，故本选项符合题意；D．∵a＞b，c2≥0，∴a•c2≥b•c2，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，能够正确利用不等式的性质是解题的关键．3．若等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．8cm【分析】此题分为两种情况：4cm是等腰三角形的底边或4cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解：当4cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（14﹣4）÷2＝5（cm），能够组成三角形；当4cm是等腰三角形的腰时，则其底边是14﹣4×2＝6（cm），能够组成三角形．故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，关键是根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．4．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a|＝|b| B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．解：A、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D、若a＞0，b＞0，则a+b＞0的逆命题是若a+b＞0，则a＞0，b＞0，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可．解：，解不等式①得：x＞4，∵不等式组的解集是x＞4，∴m≤4，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和不等式组的解集得出关于m的不等式是解此题的关键．6．直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≤2 B．x≤0 C．x≥2 D．x≥0【分析】观察图象可知当x＝0时，y＝1，即当x＝0时，kx+b＝1，可知当x＞0时，y＜1，即x＞0时，kx+b＜1，可得不等式的解集．解：由不等式kx+b﹣1≤0得kx+b≤1．观察图象，当x≥0时，y≤1，即kx+b≤1．所以不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，掌握直线和y轴的交点的横坐标与不等式的解集的关系是解题的关键．7．如图，将线段AB先绕原点О按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【分析】先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为（﹣1，2），再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A'（﹣1，2），A'向下平移4个单位，得到C（﹣1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．5 B．8 C．10 D．7【分析】连接BI、由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出结果．解：连接BI、如图所示：∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，由平移得：AB∥DI，∴∠ABI＝∠BID，∴∠CBI＝∠BID，∴BD＝DI，同理可得：CE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝7，即图中阴影部分的周长为7，故选：D．【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分）9．分解因式：2a2﹣8的结果为2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式分解因式是解题关键．10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率等于5%，则该商品应该打7折．【分析】因为＝利润率，所以当商品打10x折后，售价即为1200x，而进价800为已知所以有＝5%，解不等式即可求解．解：设可以打10x折，由题意可得＝5%解之可得x＝0.7即：最多可以打7折．故答案是：7．【点评】本题主要考查利润率问题，关键是把实际问题抽象到数学问题中来，利用方程进行解答．准确地找到等量关系列方程是解题的关键．注意本题的等量关系为：利润等于5%．11．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．解：∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．12．如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点，当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝130°，则∠BEC＝122.5°．【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质计算即可．解：连接AE．，如图，则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，∵∠1+∠2＝130°，∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝130°，即∠DEF+∠A＝130°，∵∠DEF＝∠A，∴∠DEF＝∠A＝65°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣65°）＝122.5°．故答案为122.5°．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，正确运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．13．如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为cm（保留根号）．【分析】△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，已知斜边DE＝10，∠D＝30°，可求CE；利用旋转60°可求∠ECG＝30°，∠CEG＝60°，从而可证∠CGE＝90°．用勾股定理解直角△CEG即可．解：由题意知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，由旋转的性质知图（2）中，CB＝CE，∴△BCE为等边三角形．∴∠ECB＝60°，∠ECG＝30°．而∠FED＝60°．∴∠EGC＝90°，∠ECG＝30°，∴EG＝EC＝ED＝×10＝，FG＝＝．【点评】本题考查旋转性质和勾股定理，题目难度不大．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是①③⑤．【分析】①连接CF，证明△ADF≌△CEF，可以得出结论正确；②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形；所以此结论不正确；③根据两三角形全等时面积也相等得：S△CEF＝S△ADF，利用割补法知：S四边形CDFE＝S△AFC，F是定点，所以△AFC的面积是定值，即四边形CDFE的面积保持不变；④由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，求出最小值，所以此结论不正确；⑤当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF，代入即可．解：①连接CF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵F是AB边上的中点，∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝45°，∴∠AFC＝90°，∴∠A＝∠BCF，在△ADF和△CEF中，∵，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠DFC＝∠CFE+∠DFC＝90°，即∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．如图2，∵E是BC的中点，F是AB边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC＝CD，∴四边形CDFE是平行四边形，∵CD＝AC，CE＝BC，AC＝BC，∴CD＝CE，∵∠C＝90°，∴四边形CDFE是正方形，所以此结论不正确；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF∴S四边形CDFE＝S△AFC．∴四边形CDFE的面积保持不变；所以此结论正确；④由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝BC＝4．∴DE＝DF＝4；所以此结论不正确；⑤当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，∴AB＝＝8，∴AF＝CF＝4，此时S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝×4×4﹣×4×4＝16﹣8＝8．则结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点评】本题是三角形的综合题，难度适中，此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定DE的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．三、作图题（本题满分4分）不写作法，但要保留作图痕迹.15．已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．【分析】作AF∥OE，过点B作AC⊥AF于点C，△ABC即为所求．解：如图，△ABC即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．四、解答题（本题满分74分、共有8道小题）16．分解因式：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．【分析】（1）先确定公因式，然后利用提公因式法分解因式；（2）先利用完全平方公式变形得到x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，然后利用完全平方公式分解因式．解：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）＝2（m﹣n）2+m（m﹣n）＝（m﹣n）（3m﹣2n）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4＝（x﹣2y）2﹣4（x﹣2y）+4＝[（x﹣2y）+2]2＝（x﹣2y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，注意分解要彻底．17．解不等式组，请把解集在数轴上表示，并写出它的所有整数解．【分析】先分别求出每个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来，即可得出整数解．解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤4，∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：∴它的所有整数解为﹣1，0，1，2，3，4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握求不等式组的解集的步骤是解题的关键．18．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【分析】（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式y1＝4x，y2＝2.4x+16000．（2）使y2﹣y1得，16000﹣1.6x＝0，解得x＝10000，讨论x的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点．解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1＝4x，蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2＝2.4x+16000．（2）y2﹣y1＝2.4x+16000﹣4x＝16000﹣1.6x，由y1＝y2得，16000﹣1.6x＝0，解得x＝10000，∴当x＜10000时，y1＜y2，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．当x＞10000时，y1＞y2，选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低．当x＝10000时，y1＝y2，选择两个方案的费用相同．【点评】利用一次函数性质解决生活中的实际问题．需要讨论x的取值．19．阅读理解：材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）解决问题：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；②x3﹣5x+2．（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【分析】（1）①首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；②首先把﹣5x拆解为﹣4x和﹣x，然后再提取公因式，利用平方差公式分解因式，最后提取公因式即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．解：（1）①a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）；②x3﹣5x+2＝x3﹣4x﹣x+2＝（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）；（2）a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝0，即：a＝b，或者a＝c，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解因式是解题关键．20．已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明．【分析】（1）连接CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE＝CF；（2）根据Rt△CDE≌Rt△CDF得出CE＝CF，求出AC＝24，由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】（1）证明：连接AD．如图所示：∵DM垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFB中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL），∴AE＝BF．（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF，由（1）得：Rt△DEA≌Rt△DFB，∴AE＝BF＝7，∴CF＝BC+BF＝10+7＝17，∴AC＝AE+CF＝7+17＝24，∴BC2+AC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键21．电影《水门桥》以抗美援朝战争中第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史．71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军队国威．某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织两名老师和50名学生进行观影活动，电影院的价格如表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）会员价（元/张）寻常票价成人票价（元/张）学生票价（元/张）406050由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，没有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元；（1）若购买电影票的全部费用不超过2400元，则有会员卡的学生至少有多少人？（2）若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值．【分析】根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．（1）根据购买电影票的全部费用不超过2400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出（50﹣x）的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；（2）根据有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数，即可得出x的最小值，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．解：∵学校组织两名老师和50名学生进行观影活动，没有会员卡的学生有x人，∴有会员卡的学生有（50﹣x）人，∴W＝60×2+40（50﹣x）+50x，即W＝10x+2120．（1）依题意得：60×2+40（50﹣x）+50x≤2400，解得：x≤28，∴50﹣x≥22，∴（50﹣x）的最小值为22．答：有会员卡的学生至少有22人．（2）依题意得：50﹣x≤2x，解得：x≥，∵x为正整数，∴x的最小值为17．∵10＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝17时，W取得最小值，最小值＝10×17+2120＝2290．答：W的最小值为2290．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）利用一次函数的性质，求出W的最小值．22．新知学习：在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly＝n．如图①，图形W在x轴上的投形长度lx＝|3﹣1|＝2；在y轴上的投影长度ly＝|4﹣0|＝4．初步运用：（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图②所示，若图形W为△OAB，则lx＝4，ly＝3．（2）在图②的基础上，将△OAB绕点О逆时针旋转90°得△OCD，若图形W为△OCD，则lx＝3，ly＝4．（3）在图②的基础上，将△OAB绕点О顺时针旋转45°得△OEF，若图形W为△OEF，则lx＝3，ly＝．提升拓展：（4）如图③，已知点C（4，0），点D在直线y＝﹣2x+6上，若图形W为△OCD，当lx＝ly时，求点D的坐标．【分析】（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）根据旋转的性质得出C、D的坐标，进而解答即可；（3）根据旋转的性质得出E、F的坐标，进而解答即可；（4）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，﹣2x+6），则PD＝|﹣2x+6|．PC＝|4﹣x|，然后依据lx＝ly，列方程求解即可．解：（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度ly＝3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度lx＝4．故答案为：4；3；（2）∵将△OAB绕点О逆时针旋转90°得△OCD，点A（3，3），B（4，1），∴点C（﹣3，3），D（﹣1，4），∴点D在y轴上的正投影的坐标为（0，4）．∴△OAB在y轴上的投影长度ly＝4．∴点C在x轴上的正投影的坐标为（3，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度lx＝3；故答案为：3；4；（3）∵将△OAB绕点O顺时针方向旋转45°得△OEF，点A（3，3），B（4，1），∴点E（3，0），F（