2022-2023学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上。1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±22．苏州某地2022年十月国庆假期间每日最高温度如表：日期1日2日3日4日5日6日7日气温（单位：℃）33383817121218则关于这组数据下列结果不正确的是（）A．极差是26 B．平均数是24 C．中位数是18 D．众数是383．⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥24．如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1 B．2 C．8 D．165．如图，点C是半圆AOB的一点，连接CA，CO，CB，若∠OCA＝28°，则∠ABC的度数为（）A．52° B．56° C．62° D．72°6．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．必有两个正根 C．必有两个负根 D．必有一个实数根为x＝﹣17．一个容器盛满纯药液63L；第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，若设每次倒出液体为xL，则可列方程为（）A． B． C． D．8．如图，⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，过点C作CD垂直AB于点D，若CD＝4，AC＝5，则BC长为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.9．若x2+2x+m＝（x+1）2，则m＝．10．已知正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长为．11．圆锥的底面圆周长为2π，侧面积为4π，则圆锥的母线长为．12．如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是cm．13．a，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则a2b+b2a＝．14．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是．15．如图，四边形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是，且四边形OABC是菱形，则图中阴影部分的面积是．16．如图，在矩形ABCD中，P是AD上的动点，连接BP，CP，若AD上存在三个不同位置的点P，使△ABP与△CDP相似，设，则d的取值范围是．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水笔字笔.17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x+3＝0．18．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C，的坐标分别为A（1，2），B（0，1），C（2，0），先以原点O为位似中心在第三象限画一个△A1B1C1使它与△ABC位似，且相似比2：1．（1）画出△A1B1C1，点A1的坐标为；（2）求△A1B1C1的面积．19．已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数．20．如图，在边长为2的等边△OAB中，以点O为圆心画弧，与AB边相切于点C，交OA于点D，交OB于点E，求的长．21．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹的质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为g；（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为kg；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．①a＝；②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．22．如图，线段AD上有一点B，作BE∥AC，DE∥BC．（1）求证：△ABC∽△BDE；（2）若AD＝15，DE＝8，BC＝16，求AB的长度．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0，且k＞﹣1．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．24．如图，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD•AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD＝DO＝1，求BE的长度．25．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？26．如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求证：DE∥AB；（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．27．如图，在⊙O中，AB为直径，CD与AB交于点E，CD＝CB，过O点作OF∥CD，交BC于点F．（1）求证：CO平分∠DCB；（2）若⊙O的半径为6，CF＝4，求EC的长；（3）设＝k，△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，△BOF的面积为S3，若S1•S3＝3S22，求k的值．

参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上。1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±2【分析】用直接开方法解方程即可．解：∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程﹣直接开方法，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解本题的关键．2．苏州某地2022年十月国庆假期间每日最高温度如表：日期1日2日3日4日5日6日7日气温（单位：℃）33383817121218则关于这组数据下列结果不正确的是（）A．极差是26 B．平均数是24 C．中位数是18 D．众数是38【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断．解：国庆假期间每日最高温度按从小到大的顺序排列为12，12，17，18，33，38，38，中位数为18；平均数为（12+12+17+18+33+38+38）÷7＝24；众数为12和38；极差为38﹣12＝26；所以A、B、C正确，D错误．故选：D．【点评】此题考查了极差，平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．3．⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥2【分析】根据点P在圆外⇔d＞r作出判断即可．解：∵点P在⊙O外，∴r＜d，∵⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，∴0＜r＜2．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．4．如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】利用相似三角形的面积间的关系确定相似比，从而求得结论．解：∵△ABC∽△A1B1C1，，∴面积比为4：1，∴相似比为2：1，∵A1B1＝4，∴AB＝2A1B1＝8，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键，难度不大．5．如图，点C是半圆AOB的一点，连接CA，CO，CB，若∠OCA＝28°，则∠ABC的度数为（）A．52° B．56° C．62° D．72°【分析】利用等腰三角形的性质求出∠A，再利用三角形的内角和定理即可解决问题．解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣28°＝62°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．必有两个正根 C．必有两个负根 D．必有一个实数根为x＝﹣1【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m﹣2）2≥0，进而可得出原方程有两个实数根，再利用因式分解法解原方程，即可得出结论．解：∵a＝1，b＝2m，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣2）2≥0，∴原方程有两个实数根．∵x2+2mx+2m﹣1＝0，∴（x+1）[x+（2m﹣1）]＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1﹣2m，∴原方程必有一个实数根为x＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出原方程的两个实数根是解题的关键．7．一个容器盛满纯药液63L；第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，若设每次倒出液体为xL，则可列方程为（）A． B． C． D．【分析】设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液（63﹣x）L，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量＝第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设每次倒出液体xL，则第一次倒出后容器内剩下纯药液（63﹣x）L，加满水后药液的浓度为，依题意得＝28，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．如图，⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，过点C作CD垂直AB于点D，若CD＝4，AC＝5，则BC长为（）A． B． C． D．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，根据圆周角定理得到∠E＝∠A，∠EBC＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A，∠EBC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠EBC＝90°，∴△ACD∽△ECB，∴＝，∴＝，∴BC＝，故选：C．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.9．若x2+2x+m＝（x+1）2，则m＝1．【分析】应用完全平方公式把等号右边展开，便可求得m的值．解：∵x2+2x+m＝（x+1）2，∴x2+2x+m＝x2+2x+1，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．10．已知正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长为24．【分析】根据正六边形的半径可求出其边长为4，进而可求出它的周长．解：正六边形的半径为4，则边长是4，因而周长是4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，正六边形的半径与边长相等是需要熟记的内容．11．圆锥的底面圆周长为2π，侧面积为4π，则圆锥的母线长为4．【分析】直接利用扇形的面积公式列式求得母线长即可．解：设母线长为R，根据S扇形＝lR得：4π＝×2πR，解得：R＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开图是扇形，弧长为圆锥的底面周长，难度不大．12．如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是cm．【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．解：由题意可得：△ABO∽△A′B′O，则＝＝，解得：A′B′＝．答：像A′B′的长为cm，故答案为：．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．13．a，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则a2b+b2a＝4．【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出a+b＝4，ab＝1，再将其代入a2b+b2a＝ab（a+b）中即可求出结论．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴a+b＝4，ab＝1，∴a2b+b2a＝ab（a+b）＝1×4＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，将a2b+b2a变形为ab（a+b）是解题的关键．14．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是+1．【分析】过A作AE⊥BD于E，由黄金分割的定义得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性质得BE＝DE＝，则CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解决问题．解：如图，过A作AE⊥BD于E，∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．15．如图，四边形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是，且四边形OABC是菱形，则图中阴影部分的面积是2π．【分析】根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB＝＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，P是AD上的动点，连接BP，CP，若AD上存在三个不同位置的点P，使△ABP与△CDP相似，设，则d的取值范围是0＜d＜．【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出方程，即可求解．解：当点P是AD的中点时，则AP＝PD，∴，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABP∽△DCP，当点P不是AD的中点时，若，∠A＝∠D＝90°，则△ABP∽△DPC，∴，∴AB2﹣BC•AP+AP2＝0∵AD上存在三个不同位置的点P，∴Δ＞0，∴BC2﹣4AB2＞0，∴0＜＜，∴0＜d＜，故答案为：0＜d＜．【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，列出方程是解题的关键．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水笔字笔.17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x+3＝0．【分析】（1）方程利用直接开平方法求解即可；（2）先把常数项3移到方程右边，再把方程两边加上3，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，解得x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x+3＝0，x2﹣2x＝﹣3，x2﹣2x+3＝﹣3+3，＝0，∴．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C，的坐标分别为A（1，2），B（0，1），C（2，0），先以原点O为位似中心在第三象限画一个△A1B1C1使它与△ABC位似，且相似比2：1．（1）画出△A1B1C1，点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；（2）求△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）；（2）△A1B1C1的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×2＝6．【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用割补法求三角形面积．19．已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数．【分析】设这个数是x，根据一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，列一元二次方程求解即可．解：设这个数是x，根据题意得x2﹣25＝x+5，即x2﹣x﹣30＝0，解得x1＝6，x2＝﹣5．所以这个数是6或﹣5．【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，正确找出题目中的相等关系是解题关键．20．如图，在边长为2的等边△OAB中，以点O为圆心画弧，与AB边相切于点C，交OA于点D，交OB于点E，求的长．【分析】连接AC，由⊙O与AB相切于点C，可知∠ACO＝90°，而△OAB是边长为2等边三角形，则OA＝AB＝2，∠DOE＝60°，所以OA＝1，根据勾股定理求得OC＝，即⊙O的半径长为，而所对的圆心角为60°，即可根据弧长公式求出的长．解：如图，连接AC，∵⊙O与AB相切于点C，∴AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∵△OAB是边长为2等边三角形，∴OA＝AB＝2，∠DOE＝60°，∴AC＝BC＝AB＝1，∴OC＝＝＝，∴＝＝，∴的长是．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、圆的切线的性质、弧长的计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．21．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹的质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为168g；（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为151.2kg；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．①a＝164；②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．【分析】（1）根据加权平均数的公式列式计算即可；（2）先求出成活蟹的只数，再根据总质量＝平均质量×总只数列式计算即可；（3）①根据平均数的定义列式计算即可；②根据方差公式计算即可．解：（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为＝168（g）．故答案为：168；（2）∵蟹苗的成活率为75%，∴成活蟹的只数为1200×75%＝900（只），∴估计蟹塘中蟹的总质量为168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案为：151.2；（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案为：164；②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次试捕所得蟹的质量数据的方差为7．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了加权平均数以及利用样本估计总体．22．如图，线段AD上有一点B，作BE∥AC，DE∥BC．（1）求证：△ABC∽△BDE；（2）若AD＝15，DE＝8，BC＝16，求AB的长度．【分析】（1）由BE∥AC，得∠A＝∠EBD，由DE∥BC，得∠ABC＝∠D，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△BDE；（2）由△ABC∽△BDE，得＝＝2，则AB＝2（15﹣AB），得AB＝10．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，∴∠A＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠D，∴△ABC∽△BDE．（2）解：∵AD＝15，DE＝8，BC＝16，∴BD＝15﹣AB，∵△ABC∽△BDE，∴＝＝＝2，∴AB＝2BD，∴AB＝2（15﹣AB），∴AB＝10，∴AB的长度为10．【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∠A＝∠EBD，∠ABC＝∠D，是解题的关键．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0，且k＞﹣1．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝4+4k，再结合k＞﹣1，可得出4+4k＞0，即Δ＞0，进而可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，结合x1﹣x2＝3，即可得出关于k的无理方程，解之经检验后即可得出k的值．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝2，c＝﹣k，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝4+4k，又∵k＞﹣1，∴4+4k＞0，即Δ＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，又∵x1﹣x2＝3，即＝3，∴＝3，解得：k＝，经检验，k＝是原方程的解，且符合题意，∴k的值为．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．24．如图，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD•AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD＝DO＝1，求BE的长度．【分析】（1）连接OE，则∠OEC＝∠ACE，再证明△ADE∽△AEC，得∠AED＝∠ACE，则∠AED＝∠OEC，所以∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；（2）由AD＝DO＝OC＝1，得AC＝3，则AE2＝AD•AC＝3，所以AE＝，再证明△AOE∽△ABC，求得BC＝3，即可根据切线长定理求得BE＝BC＝3．【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OD＝OC，∴∠OEC＝∠ACE，∵AE2＝AD•AC，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEC，∴∠AED＝∠ACE，∴∠AED＝∠OEC，∵CD是⊙O的直径，∴∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝∠CED＝90°，∵AB经过⊙O的半径OE的外端，且AB⊥OE，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝DO＝OC＝OE＝1，∴AC＝3，∴AE2＝AD•AC＝1×3＝3，∴AE＝，∵∠OEA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC，∴＝，∴BC＝＝＝3，∵OC是⊙O的半径，且CB⊥OC，∴BC是⊙O的切线，∴BE＝BC＝3，∴BE的长度是3．【点评】此题重点考查圆的切线的判定、切线长定理、直角所对的圆周角等于90°、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？【分析】（1）当x＝2时，可分别求出△AEF和△DFG的面积，再得到五边形EFBCG的面积，再根据种植成本可得出花卉所需的费用；（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．先求出△AEF和△DFG的面积，再得到五边形EFBCG的面积，（3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可．解：（1）若x＝2，则DE＝2，∴S△AEF＝AE×AF＝2，S△DFG＝DG×DF＝×1×2＝1，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣×4﹣2+×1＝13．∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．∴S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DFG＝DG×DF＝×1×（4﹣x）＝2﹣x，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣x2﹣2+x＝﹣x2+x+14，（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2﹣x）+10×（﹣x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2＝．答：当AE＝AF＝米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求证：DE∥AB；（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．【分析】（1）利用相似三角形的性质，