2021-2022学年河南省信阳市商城二中九年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省信阳市商城二中九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题，（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项填入括号内。1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx＝1﹣m2根的情况是（）A．两个不相等的实数根 B．无实数根 C．两个相等的实数根 D．有一个实数根3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：54．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜05．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65° B．35° C．32.5° D．25°6．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠07．（3分）小明做两道数学单选题部有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝1；结合图象对于下列说法：（1）abc＜0；（2）2a+b＝1；（3）ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根；（4）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．其中正确的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）10．（3分）如图，正△ABC的边长为5，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A’BC’关于直线l对称，D为线段BC’上一动点，则AD+CD的最小值是（）A． B． C． D．10二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式．12．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣），则一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象不经过第象限．13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是．14．（3分）如图，以O为圆心，AB为直径的半圆O内有一直角三角形OBC，∠OBC＝30°，将直角三角形BOC绕点O旋转至△B′OC′，点C在OA上，AB＝4cm，则边BC扫过阴影部分面积为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为对角线AC上一点，且AE＝2，连接DE，点F为DE的中点，连接CF，则CF的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）x2+x﹣1＝0．（2）（x+2）2＝3（x+2）．17．（9分）中招考试前，河南某校采用各种方式缓解学生压力，以求最佳状态迎接中考，于是对九年级部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集数据整理如下：（1）本次调查共抽取了名九年级学生？（2）请补全条形统计图．（3）全校有3600人参加此次中考，请问用体育活动减压的学生大致有多少人？18．（9分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…105212…（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．20．（9分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为个．21．（10分）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共54需元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．（1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？（2）该店计划用4200元全部购进AB两种礼品，设购进A种x个，B种y个．求y关于x的函数关系式．（3）该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？22．（10分）在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答．（2）以下是小明、小超的对话：小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了；小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，选接OC，可以证明△ACB与△OCD相似．李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题．23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，BB′与CE的数量关系是．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．

2021-2022学年河南省信阳市商城二中九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项填入括号内。1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．（3分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx＝1﹣m2根的情况是（）A．两个不相等的实数根 B．无实数根 C．两个相等的实数根 D．有一个实数根【分析】根据方程的系数结合Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0．∴该方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故选：B．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65° B．35° C．32.5° D．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝65°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，∴∠ADC＝∠ABC＝25°，故选：D．6．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到（﹣7）2﹣4k•（﹣7）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得，解得k＞﹣且k≠0．故选：B．7．（3分）小明做两道数学单选题部有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1种，∴小明都猜对的概率为，故选：B．8．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝1；结合图象对于下列说法：（1）abc＜0；（2）2a+b＝1；（3）ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根；（4）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．其中正确的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；由图象可知抛物线与x轴有两个交点；然后由图象确定当x取何值时，y＜0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴a、b异号，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③由图象可知抛物线与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根，故③正确；④如图，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故④错误；故选：A．10．（3分）如图，正△ABC的边长为5，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A’BC’关于直线l对称，D为线段BC’上一动点，则AD+CD的最小值是（）A． B． C． D．10【分析】连接A'D，先根据轴对称性得出△A'BC'也是边长为5的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出CD＝A'D，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD+A'D取得最小值时，点D的位置，由此即可得出答案．【解答】解：如图，连接A'D，∵△ABC与△A'BC'关于直线l对称，∴△A'BC'≌△ABC，∴A'B＝AB＝5，∠A'BC'＝60°，∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠A'BC'＝60°，在△BCD和△BA'D中，BC＝BA′＝5，∠CBD＝∠A′BD＝60°，BD＝BD，∴△BCD≌△BA'D（SAS），∴CD＝A'D，∴AD+CD＝AD+A'D由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点A，D，A'共线时，AD+A'D取得最小值，最小值为AA'＝AB+A'B＝5+5＝10，即AD+CD的最小值为10．故选：D．二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式y＝x2﹣x（答案不唯一）．【分析】二次函数y＝ax2+bx+c图象过原点，则c＝0；二次函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．写出满足以上两个特征的二次函数解析式便可．【解答】解：根据题意得，二次函数的解析式为：y＝x2﹣x（答案不唯一）．故答案为：12．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣），则一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象不经过第二象限．【分析】将（2，﹣）代入反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．【解答】解：将（2，﹣）代入y＝得﹣＝，解得k＝3，∴一次函数解析式为y＝3x﹣3，∴直线经过第一、三、四象限，故答案为：二．13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2﹣2．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．14．（3分）如图，以O为圆心，AB为直径的半圆O内有一直角三角形OBC，∠OBC＝30°，将直角三角形BOC绕点O旋转至△B′OC′，点C在OA上，AB＝4cm，则边BC扫过阴影部分面积为πcm2．【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝4cm，∴OB＝2cm，OC′＝1cm，∴B′C′＝cm，∴S扇形B′OB＝＝π，S扇形C′OC＝＝π，∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣π＝π（cm2）；故答案为：πcm2．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为对角线AC上一点，且AE＝2，连接DE，点F为DE的中点，连接CF，则CF的长为．【分析】由勾股定理和相似三角形的性质分别求出EF，CE的长，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠B＝90°，∴AC＝＝＝10，∵AE＝2，∴CE＝8＝DC，∵点F是DE的中点，∴CF⊥DE，DF＝EF，如图，过点E作EH⊥AD于H，∴∠AHE＝90°＝∠ADC，又∵∠DAC＝∠HAE，∴△AHE∽△ADC，∴，∴，∴HE＝，AH＝，∴DH＝，∴DE＝＝＝，∴EF＝，∴CF＝＝＝，故答案为：．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）x2+x﹣1＝0．（2）（x+2）2＝3（x+2）．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）∵（x+2）2＝3（x+2），∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，则（x+2）（x﹣1）＝0，∴x+2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1．17．（9分）中招考试前，河南某校采用各种方式缓解学生压力，以求最佳状态迎接中考，于是对九年级部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集数据整理如下：（1）本次调查共抽取了50名九年级学生？（2）请补全条形统计图．（3）全校有3600人参加此次中考，请问用体育活动减压的学生大致有多少人？【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；（3）利用总体估计个体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）一共抽查的学生：8÷16%＝50（名）．故答案为：50．（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%＝15（名），补全统计图如图所示：（3）3600×＝1080（人）．答：估计用体育活动减压的学生大致有1080人．18．（9分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合+＝k﹣2，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，解得：k≤﹣1，∴k的取值范围为k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．∵+＝k﹣2，∴＝＝k﹣2，∵k2﹣4＝2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣，k2＝，经检验，k1＝﹣，k2＝均为原方程的解，k2＝不符合题意，舍去，∴k＝﹣．∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…105212…（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．【分析】（1）当x＝1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；（2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；（3）由表格中的值可以判断函数值等于5的自变量的值，再利用二次函数增减性求出即可【解答】解：（1）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），求出对称轴为x＝2；∴顶点坐标为：（2，1），∴设y＝a（x﹣2）2+1，将（1，2）代入可得：a+1＝2，解得：a＝1，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5．（2）由表格中的值可以判断：图象的对称点为：（1，2），（3，2），顶点坐标为：（2，1），画出函数的图象如图：（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，5），求出对称轴：x＝2；∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（4，5），∴y≤5时自变量x的取值范围：0≤x≤4．20．（9分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为4个．【分析】（1）根据反比例函数的性质建立不等式，即可求出答案；（2）先求出点D的坐标；①利用待定系数法求解，即可求出答案；②分三种情况，利用图象求解，即可判断出答案．【解答】解：（1）∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．∴1﹣m＞0，∴m＜1；（2）∵B（﹣3，0），∴OB＝3，∵四边形ABOD是平行四边形，∴AD∥OB，AD＝OB＝3，∵A（0，4），∴D（3，5），①如图，∵点D是反比例函数y＝的图象上，∴1﹣m＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，∴Ⅰ、当OD＝OP时，如图，点P1和P2；Ⅱ、当OD＝DP时，如图中，P3和点P4；Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；故答案为：4．21．（10分）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共54需元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．（1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？（2）该店计划用4200元全部购进AB两种礼品，设购进A种x个，B种y个．求y关于x的函数关系式．（3）该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？【分析】（1）设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，可得：，即可解得A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；（2）由14x+6y＝4200，得y＝﹣x+700；（3）根据A种礼品不少于60个，有x≥60，而W＝（20﹣14）x+（9﹣6）（﹣x+700）＝﹣x+2100，由一次函数性质可得购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．【解答】解：（1）设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，根据题意得：，解得，∴A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；（2）根据题意得：14x+6y＝4200，∴y＝﹣x+700；（3）∵A种礼品不少于60个，∴x≥60，根据题意得W＝（20﹣14）x+（9﹣6）（﹣x+700）＝﹣x+2100，∵﹣1＜0，∴W随x的增大而减小，∴x＝60时，W取最大值，最大值为﹣60+2100＝2040（元），此时y＝﹣x+700＝﹣×60+700＝560，答：购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．22．（10分）在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答．（2）以下是小明、小超的对话：小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了；小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，选接OC，可以证明△ACB与△OCD相似．李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理可得出答案；（2）连接OC，证明△OBC是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠COB＝60°，证出∠ACB＝∠OCD，由相似三角形的判定可得出结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2；（2）连接OC，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵OD⊥AB，∴∠DOC＝30°，∴∠A＝∠DOC，∵CD为⊙