(北京卷)十年真题(20102019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)

专题06平面向量历年考题详目表题型年份考点试题地点单项选择题2017充分必需条件2017年北京文科07单项选择题2015充分必需条件2015年北京文科06单项选择题2014平面向量的坐标运算2014年北京文科03单项选择题2010平面向量的数目积2010年北京文科04填空题2019平面向量的坐标运算2019年北京文科09填空题2018平面向量的坐标运算2018年北京文科09填空题2017平面向量的数目积2017年北京文科12填空题2016平面向量的数目积2016年北京文科09填空题2013平面向量的坐标运算2013年北京文科14填空题2012平面向量的数目积2012年北京文科13填空题2011平面向量的坐标运算2011年北京文科11历年高考真题汇编1．【2017年北京文科07】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“?0”的（）A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得?0．反之不可立，非零向量，的夹角为钝角，知足?0，而λ不可立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是?0”的充分不用要条件．应选：A．2．【2015年北京文科06】设，是非零向量，“||||”是“”的（）A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件【解答】解：（1）；∴时，cos1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必需条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不用要条件．应选：A．3．【2014年北京文科03】已知向量（2，4），（﹣1，1），则2（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）【解答】解：由（2，4），（﹣1，1），得：2（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）．应选：A．4．【2010年北京文科04】若，是非零向量，且⊥，||≠||，则函数f（x）＝（x）（x）是（）A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【解答】解：∵⊥，∴?0∴f（x）＝（x）（xb）＝xx，∵||≠||，∴所以f（x）＝（）x所以函数f（x）是一次函数且是奇函数应选：A．5．【2019年北京文科09】已知向量（﹣4，3），（6，m），且⊥，则m＝．【解答】解：由向量（﹣4，3），（6，m），且⊥，得，∴＝8．m故答案为：8．6．【2018年北京文科09】设向量（1，0），（﹣1，）．若⊥（m），则＝．mm【解答】解：向量（1，0），（﹣1，m）．（m+1，﹣m）．∵⊥（m），m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．7．【2017年北京文科12】已知点P在圆x2+y2＝1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则?的最大值为．【解答】解：设（cosα，sinα）.（2，0），（cosα+2，sinα）．P则?2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα＝1时取等号．故答案为：6．8．【2016年北京文科09】已知向量（1，），（，1），则与夹角的大小为．【解答】解：∵向量（1，），（，1），∴与夹角θ知足：cosθ，又∵θ∈[0，π]，∴θ，故答案为：．9．【2013年北京文科14】已知点（1，﹣1），（3，0），（2，1）．若平面地区D由全部知足ABC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P构成，则D的面积为．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标知足不等式组作出不等式组对应的平面地区，获得如图的平行四边形CDEF及其内部此中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d∴平行四边形故答案为：3

CDEF的面积为

S＝|CF|×d

3，即动点

P构成的平面地区

D的面积为

310．【2012年北京文科13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．【解答】解：由于1．故答案为：111．【2011年北京文科11】已知向量（，1），（0，﹣1），（k，）．若与共线，则k＝．【解答】解：∵与共线，∴解得k＝1．故答案为1．考题剖析与复习建议本专题考察的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数目积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，要点考察的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数目积等，展望明年本考点题目会比较稳固，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数目积，平面向量的综合应用等为要点较佳.最新高考模拟试题1．在

ABC中，

，

，若

，则（

）A．

y

3x

B．

x

3y

C．

y

3x

D．

x

3y【答案】【分析】

D由于

，所以点

D是

BC的中点，又由于

，所以点

E是

AD

的中点，所以有：，所以，故此题选

D.2．已知非零向量

a,

b

的夹角为

60

,且知足

a

2b

2,则a

b的最大值为

(

)A．

1

B．1

C．2

D．32【答案】

B【分析】由于非零向量

a,

b的夹角为

60

,且知足

a

2b

2,所以

，即

，即

，又由于

，当且仅当

a

2b

时，取等号；所以

，即ab

2；所以，

.即ab的最大值为

1.应选

B3．设a，b均为单位向量，则“

a与b夹角为

2π”是“3

|a

b|

3”的( )A．充分而不用要条件

B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件【答案】D【分析】由于a，b均为单位向量，若a与b夹角为2π，3则；所以，由“a与b夹角为2π”不可以推出“|ab|3”；3若|ab|3，则，解得cosa,b1，即a与b夹角为π，23所以，由“|ab|3”不可以推出“a与b夹角为2π”3所以，“a与b夹角为2π”是“|ab|3”的既不充分也不用要条件.3应选Duuur2．若点M，N分别是CD，BC的中点，则AMMN4．在矩形ABCD中，AB=4,AD（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】由题意作出图形，如下图：由图及题意，可得：，.∴.应选：C．5．已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，知足，若AB2，则（）A．23B．3C．6D．与相关的数值【答案】C【分析】如图：以BC中点为坐标原点O，以BC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，成立平面直角坐标系，由于AB2，则AO3，由于P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，知足，uurAO，所以点P在直线BC，所以AP在AO方向上的投影为所以.应选C6．已知向量，且a(ab)，则m的值为（）A．1B．3C．1或3D．4【答案】B【分析】由于，所以，由于a(ab)，则，解得m3所以答案选B.7．已知向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为3，则向量a与b的夹角为（）12A．B．C．D．2643【答案】A【分析】设向量a与b的夹角为，由于向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为3，12则有，变形可得：，即，又由0，则，6应选A．8．在矩形ABCD中，AEEC（）A．72B．144525【答案】B【分析】如图：

与BD订交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则C．12D．12525由AB3，AD4得：，又AEBD又此题正确选项：B9．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（）A．1B．3C．2122D．2【答案】C【分析】yxm22，联立y2，得2x+2mx+m-1=0x21∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，222＞0，解得m＞6或m＜-6，∴△=4m+8m-8=12m-833设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m，，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x22+m（x1+x2）+m，AO=（-x1，-y1），AB=（x2-x1，y2-y1），∵2-yy=122231122解得m=2．2应选：C．10．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF，若AEAF1，则的值为（）A．3B．2C．3D．522【答案】B【分析】由题意可得：，且：，故，解得：2.应选：B.11．已知正ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E知足AEED，那么EBEC的值为（）8B．1C．1D．3A．3【答案】B【分析】由已知可得：EB=EC=7，又所以所以应选：B．12．在ABC中，AC3，向量AB在AC上的投影的数目为，则BC( )A．5B．27C．29D．42【答案】C【分析】∵向量AB在AC上的投影的数目为2，∴．①∵SABC3，∴，∴．②由①②得tanA1，∵A为ABC的内角，3∴A，4∴．在ABC中，由余弦定理得，∴BC29．应选C．13．在△ABC中，，则（）A．-1B．1C．-1D．13322【答案】A【分析】由于所以P为ABC的重心，所以,所以,所以由于，所以应选：A14．在ABC中，，则（）A．9:7:8B．C．6:8:7D．【答案】B【分析】设所以，所以，所以，得所以应选：B15．在平行四边形ABCD中，若则ADC( )A．5B．3C．2D．6432【答案】C【分析】如下图,平行四边形ABCD中,,，，,由于,所以,，所以，应选C.16．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．23C．2D．25B．124【答案】D【分析】以BC的中点为坐标原点，成立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当a1的最小值为25时，．612应选：D．17．如图RtABC中，ABC，AC2AB，BAC均分线交△ABC的外接圆于点D，设ABa，2ACb，则向量AD（）A．abB．1abC．a1bD．a2b223【答案】C【分析】解：设圆的半径为r，在RtABC中，ABC，AC2AB，2所以BAC，ACB，BAC均分线交ABC的外接圆于点D，36所以，则依据圆的性质，又由于在RtABC中，，所以四边形ABDO为菱形，所以．应选：C．18．在ABC中，A90，AB1，AC2，设点D、E知足ADAB，AC(R)，若BECD5，则（）A．1B．2C．9D．335【答案】D【分析】由于A90，则，所以.由已知，345，则3.选D.19．已知点C为扇形AOB的弧AB上随意一点，且，若，则的取值范围为（）A．[2,2]B．(1,2]C．[1,2]D．[1,2]【答案】D【分析】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，成立直角坐标系，此中A（1，3），22B（1，0），C（cosθ，sinθ）（此中∠BOC＝θ有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（1，3）+μ（1，0）；2213整理得：λ+μ＝cosθ；22

2sinsinλ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，332sin则λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），此中；36易知λ+μ2sinsinθ+cosθ＝2sin（θ[1，2]cosθ），由图像易得其值域为36应选：．D20．在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，ACB，BC=1，P为BC中点．过点32P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则AQ在BC方向上投影的最大值是（）11C．32A．B．3D．323【答案】C【分析】成立如下图的平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），P（0，0），22由BAC可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为2.圆心在BC的3331BC33)，半径为中垂线即y轴上，且圆心到直线BC的距离为2.，即圆心为(0,tan663所以点A的轨迹方程为：，则x21，则，3由AQ在BC方向上投影的几何意义可得：AQ在BC方向上投影为|DP|=|x|，则AQ在BC方向上投影的最大值是3，3应选：C．21．已知圆的弦AB的中点为(1,1)，直线AB交x轴于点P，则PAPB的值为______．【答案】5【分析】设M(1,1)，圆心C(2,0)，∵，依据圆的性质可知，kAB1，2gR∴AB所在直线方程为，即2，联立方程可得，，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，令y0可得P(0,0)，，故答案为：-5．22．已知向量，若，则______．【答案】【分析】

12解：；；；；1解得．2故答案为：1．223．向量a1,2，b1,0，若，则_________.【答案】13【分析】向量a1,2，b1,0，所以，又由于，所以，即，解得11，故答案为.3324．设向量e1,e2的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量e2e1与e2的夹角为_____．3【答案】6【分析】又向量e2e1与e2的夹角为：6此题正确结果：6r25．已知平面向量a，m，n，知足a4，，则当mn_____，则m与n的夹角最大．【答案】3【分析】设a，m，n的起点均为O，以O为原点成立平面坐标系，不如设a(4,0)，m(x,y)，则，am4x，由可得，即，∴m的终点M在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，同理n的终点N在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上．明显当OM，ON为圆的两条切线时，MON最大，即m，n的夹角最大．设圆心为A，则AM3，∴，，∴，设MN与x轴交于点B，由对称性可知MN⊥x轴，且MN2MB，∴.故答案为：3．26．如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，AB2BC，则PCPA的最小值为_______．3【答案】5﹣213【分析】设圆心为O,AB中点为D,由题得.取AC中点M，由题得,双方程平方相减得，要使PCPA取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=,所以PM有最小值为2﹣13，2代入求得PCPA的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC中，D、E分别为边BC、CA上的动点，且知足CEmBD（m为定常数，且m(0,1]），若ADDE的最大值为3，则m________.4【答案】【分析】

12以BC中点为坐标原点O，OC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，成立如下图平面直角坐标系，由于正三角形ABC边长为2，所以B(1,0)，C(1,0)，A(0,3)，则BC(2,0)，，由于D为边BC上的动点，所以设BDtBC，此中0t1，则，所以D(2t1,0)；又，所以，所以，所以，，故，由于m(0,1]，所以，又0t1，所以当且仅当t3m时，ADDE获得最大值，2m4，解得m18（舍）即，整理得或m21故答案