第三章 加权残值法

第三章加权残值法第一页，共十六页，2022年，8月28日3.1加权残值法的基本概念设某一具体的工程定解问题：Lu－f=0（在域V内）（）

Gu－g=0（在边界S上）（）这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域内和边界上的已知项。第二页，共十六页，2022年，8月28日3.1加权残值法的基本概念一般地，定解问题（）、（）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的试函数：（）其中Ci为待定系数，vi为试函数项。将（）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS，即：第三页，共十六页，2022年，8月28日3.1加权残值法的基本概念为了消除残值，选取内部权函数（Weightedfunction）WV和边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（）。（）（）（）（）第四页，共十六页，2022年，8月28日按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类：内部法

边界法

混合法

3.1加权残值法的基本概念第五页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法据权函数的形式分类，主要有以下五种方法：（1）最小二乘法（LeastSquareMethod）最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的残值平方积分：（）最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：第六页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法（）即可得到最小二乘法的基本方程：（）可见，最小二乘法就是将权函数取作。式（）将给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。（i=1，2，…N）（i=1，2，…N）第七页，共十六页，2022年，8月28日（2）配点法（CollocationMethod）3.2加权残值法的基本方法如果选用狄拉克δ函数（DiracDeltaFunction）作为权函数，即：（）就得到了配点法。配点法的基本方程为：（）（i=1，2，…N）第八页，共十六页，2022年，8月28日（2）配点法（CollocationMethod）3.2加权残值法的基本方法对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：（i=1，2，…N）（）由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。第九页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法（3）子域法（SubdomainMethod）如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：（）于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：（i=1，2，…N）（）第十页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法（3）子域法（SubdomainMethod）这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数Ci（i=1，2，…N）。需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。第十一页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法（4）伽辽金法（GalerkinMethod）伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：Wi=vi，（i=1，2，…N）（）（i=1，2，…N）（）由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。第十二页，共十六页，2022年，8月28日3.2加权残值法的基本方法（5）矩量法（MethodofMoment）当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量法的基本方程为：（i=0，1，…N－1）（）由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。第十三页，共十六页，2022年，8月28日（1）最小二乘法（LeastSquareMethod）（2）配点法（CollocationMethod）

例2：简支梁的弯曲问题第十四页，共十六页，2022年，8月28日（3）子域法（Su