数理统计复习总结

优选素材1统计量与抽样分布1.1根本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn)即为统计量样本均值N=仅样本方差S2=1£(X-X)2nnii=1… 1V—:、2修正样本方差S*2=--£(X-X)nn-1ii=11样本k阶原点矩A=-£Xk,(k=1,2,...)kn1i=11n样本k阶中心矩B二—£(X—X)k,(k=1,2,...)kn1i=1经验分布函数F(X)=vM,(—8<x<+8)其中V(x)表示随机事件{X<x]出现的次数,nn n显然V(x)~B(n,F(x))，则有E[F(x)]=F(x)D[F(x)]=1F(x)[1-F(x)]n n n n补充：二项分布B(n,p):P{X=k]=Ckpk(1-p)n-k,(k=0,1,...,n)nEX=npDX=np(1-p)泊松分布P(九):P{X=k]=左e4,(k=0,1,...)均匀分布U(a,b):f(x)= ,(a<x<b)b-a指数分布：f(x)=Xe-大x,(x>0)»F(x)=1-e-九x,(x>0)正态分布N(,o2)：f(x)=—■；=—exp{- ———] EX=hDX=。2TOC\o"1-5"\h\z2兀o 2o22 ,, 2当R=0时，EX=0EX2=o2EX4=3o4e\X\=—o^X\=(1-—)o2兀 兀1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是。的充分统计量Of(x1,x2,...,xT=t)与。无关T是。的完备统计量O要使Eg(T)]=0,必有g(T)=0优选素材；。)=h(x,x，…,x)g(T(x,x，…,x)；6)且h非负=T是。的充分统计量i 12n 12ni=lFI/(x;0)=C(6)e?q){Z?(0)T(x,x)}/i(x,x)=t是。的充分完备统计量i 12n12ni=lTOC\o"1-5"\h\z0(7,7)是6=(0,0)的充分完备统计量1 2 1 21・3抽样分布：殍分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布1 XH%2分布：%2=X2+X2+…+X2〜/2(n) /(%)= e~2X2~\x>0)12〃 21 "22吗)X nT分布：T=, -f(n)当n>2时，ET=ODT= y/Y/n n-23 1F分布：F=--i--F(n,n)—=F(n,n)Y/12f2i补充：Z=X+Y的概率密度/(z)=卜"(％,z-x)dxJ+°°/(z—y,y)dyf(x,y)是X和丫的联7' -00 -00合概率密度2=3的概率密度/(2)=1/(兀位)以血X 工 -00y=g(x)的概率密度/Jy)=/x(gT(y))tgT(y)]1「函数：r(a)=f+0Oxa-ie-.xWxr(a+l)=oT(a)「(〃)=(〃—1)!,「(1)=10B函数：B(a,[3)=Jja一— 8(a,B)=「(a)「(「)o r(a+p)1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X、样本极差R川X(k)的分布密度：fW=-———[F(x)].-i[l-F(x)]n-k/(X),{k=1,2,...,n)X⑴的分布密度：f(x)=nf(x)[l-F(x)]n-i(1)X(n)的分布密度:/(X)=nf(x)[F优选素材2参数估量点估量与优良性：概念、无偏估量、均方误差准则、相合估量(一致估量)、渐近正态估量0的均方误差：MSE(0,0)=E(0-0)2=D0+(E0-0)2假设0是无偏估量，则MSE(0,0)=D0对于0的任意一个无偏估量量0，有D0*<D0，则0*是0的最小方差无偏估量，记MVUETOC\o"1-5"\h\z相合估量(一致估量):limE°=0limD0n=0nTs n-8点估量量的求法：矩估量法、最大似然估量法矩估量法：求出总体的k阶原点矩:a=EXk=j+sxkdF(x；0,0,...,0)k -s 1 2m解方程组a=1Zxk(k=1,2,...,m)，得0*=0(X,X，…,X)即为所求kni kk1 2ni=1最大似然估量法：①写出似然函数L(0)=FIf(x；0)，求出lnL及似然方程"L =0i=1,2,...,m\o"CurrentDocument"i 00i=1 i0=0②解似然方程得到0,(5,x2，...,xn)，即最大似然估量0,(XjX2，...,Xn)i=1,2,.,m补充：似然方程无解时，求出0的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估量MVUE和有效估量：最小方差无偏估量、有效估量T是0的充分完备统计量，0是0的一个无偏估量o0*=E(0|T)为0的惟一的MVUE最小方差无偏估量的求解步骤：求出参数0的充分完备统计量T求出ET=g(0)，则0=g-1(T)是0的一个无偏估量或求出一个无偏估量，然后改写成用T表示的函数综合，E[g-1(T)|T]=g-1(T)是0的MVUE或者：求出0的矩估量或ML估量，再求效率，为1则必为MVUE[g'(0)]2T是g(0)的一个无偏估量，则满足信息不等式D[T(X)]之nI(0)，其中I(0)=E厂nfX0212或1(0)=-E[半产卜0，以X；0)为样本的联合分布。

优选素材最小方差无偏估量U到达罗-克拉姆下界=有效估量量=效率为1无偏估量9的效率：无偏估量9的效率：e(9)=nI(9)DO9是9的最大似然估量，且9是9的充分统计量09是9的有效估量区间估量：概念、正态总体区间估量(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估量、非正态总体参数和区间估量一个总体的情况：X~N(从,o2)求N求N的置信区间:〜N(0,1)nX—R0o2未知求N的置信区间:X-RS*o2未知求N的置信区间:X-RS*nn求o2的置信区间:n£(X—R)2

i■^1-o 〜X2(n)nS*<-^t(n—1)nna2£(X—R)2

i-4-1 £(X—R)2

iX2(n)a2<o2<^1 X2(n)1-a2求o2的置信区间:两个总体的情况：X~N(R,o两个总体的情况：X~N(R,o2)1 1Y〜N(R,o2)22o2,o2均已知时12的区1-o2o2—H+—2

nn1 2N(0,1)=^X—Y—(R—R)o2+niO2un2o2o2=o2=o2未知时12求R1R2的区间估量:o2求上o22非正态总体的区间估量:X—RX—RL…、 当nT9时，--J=TN(0,1)nX—R<S心3统计决策与贝叶斯估量rlim1nT9S n—Sn—1，故用Sn替代Sn-1统计决策的根本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间〔判决空间〕、损失函数L(9,d)

优选素材统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估量未知参数风险函数：R(dd)=E[L(6,d(X))]是关于9的函数U贝叶斯估量：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估量求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布：q(x16)=仃f(xj6)i=1样本X与6的联合概率分布：f(X,6)=h(6Ix)m(x)=q(x16)兀(6)求f(x，6)关于x的边缘密度m(x)=』f(x,6)d60④6的后验密度为：h(6Ix)=f(x,6)m(x)取L(6,d)=(6一d)2时6的贝叶斯估量为：6=E(6Ix)=16h(6Ix)d60[R(6,d)=E(6-d)2TOC\o"1-5"\h\zI 6贝叶斯风险为：[R(d)=E[R(6,d)]=』E(6-d)2h(6Ix)d6B 6E[九E[九(6)6Ix]E[九(6)Ix]取L(6,d)=X(6)(6-d)2时，贝叶斯估量为：6=补充：C(6)的贝叶斯估量：取损失函数L(6,d)=(C(6)-d)2，则贝叶斯估量为3.3minimax估量对决策空间中的决策函数d/X1d^X),...，分别求出在0上的最大风险值maxR(6,d)6G0在全部的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4假设检验根本概念：零假设出0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数零假设通常受到爱护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(X1,X2，...,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W第一类错误〔弃真错误〕：P｛TgWIH°为真｝第二类错误〔存伪错误〕：叫电卬旧。为假｝势函数：P(6)=E俗(X))=P{XgW}5(X)=6 6优选素材当。6。时，B（。）为犯第一类错误的概率0当。e®时，1-P（9）为犯第二类错误的概率1正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验一个总体的情况：X~N（|i,O2）X-LL02已知，检验H：|i=pinH:从。u：U=-N（0,l）o o1 0 （J，/〃01。2未知，检验H:日二日~77:日。从：T=―-ooioS,4nn£（X—|Ll）2TOC\o"1-5"\h\zN已知，检验H：O2=02— ：O2WO2：X2=f—— /2（«）0 0 1 0 02Z（X-X）2A未知，检验H：O2=02— ：（J2WO2：心=4__: 〜％2（〃—1）0 0 1 0 02两个总体的情况：x〜n（n,o2）,y〜n（n,o2）1 1 2 2o；=o厂02未知时,检验H阴二电一色：四产吃S*2从未知时，检验H：62=02—H：O2WO2：F=—~F(n-l,n-1)1 2 0 1 2 1 1 2 S*2 1 22々单边检验：举例说明，。2已知，检验H0 0 1 0构造/〜N（。。给定显著性水平a,有口。J%｝=。。当H。成X—HX—LLdef立时U= 生与U,因此P{。>u}<P{U>u}=a0故拒绝域1O:VnoNn a1ao' o'为卬={。〉"}a非参数假设检验方法：殍拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验中（Ni—np）2%2拟合优度检验:H:P=P:p手pW=｛汇 ^0—>x2（m-r-l）｝0iiO1iiO yip aiT zO其中N1表示样本中取值为i的个数，i■表示分布中未知参数的个数优选素材科尔莫戈罗夫检验：H。：F(x)二八x)»H」F(x)”俨)实际检验的是勺(x)二八x)斯米尔诺夫检验：H°:F(x)=G(x)-H1:F(x)丰G(x)实际检验的是F”(x)=Gn^(x)似然比检验明确零假设和备选假设：H。：0G®产H1：6吗supL(x，…,x;6)构造似然比:-6^B 构造似然比:supL(x，…,x;6)6e0°拒绝域：W={九(x1,…,xn^)>X^}5方差分析单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估量‘X=日+a+8数学模型卜.〜N(0,02) ,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)H°：a1=a2=...=叱各8相互独立 ° nIij总离差平方和Q=£2(X—X)2Q=Q+QT ij TEAi=1j=1组内离差平方和Q=22(X—X)2 E(-QE-)=02e ijin—rTOC\o"1-5"\h\zi=1 j=1组间离差平方和Q=2n(X—X)2当H成立时，E(卫午)=02Aii 0 r—1i=1qa/ —当H0不成立时，有偏大特征构造统计量F=Q(r1)=QA〜F(r—1,n—r)，E(n—当H0不成立时，有偏大特征f〜X2(n—r)02应用:假设原始数据比拟大而且集中，可减去同一数值X1=X—k再解题jj辅助量：P=1(22x)2,Q=2L(2x)2,R=22x2nij nij iji=1j=1 i=1ij=1 i=1j=1两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验优选素材X=日+a+P+8ii数学模型代〜N(0,OX=日+a+P+8ii数学模型代〜N(0,O2)各8相互独立总离差平方和QT=££(Xi=1j=1ij,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s)H:a=a..=anH:P=P=...=P02 1-X)2组内离差平方和Q二/niE(X-X-X+X)2i=1j=1E(——QE——(r-1)(5-1))=O2 -V=因素 -V=因素B引起的离差平方和QB=乙r(X..—X)2j=1当H0成立时，E(4)=o25-1因素A引起的离差平方和Q=£5(X-X)2A i•i=1当H0成立时，E(Q)=O2

r-1'i=1j=1'i=1j=11 5i=12,Q=£1[£xII j=1rJijJ2,R=x£x；ji=1j=1cQA(13) =QA〜F(r-1,(r-1)(5-1))构造统计量：《Q(r-1)(5-1)构造统计量：《E _EQ(5—1)Q---B——■--=仲〜F(