2022年新高考北京数学高考真题（解析版）

绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U{x3x3}，集合A{x2x1}，则ðUA=（ ）A.(2,1]

C.[2,1)

【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．ðUAx|3x2或1x3，即ðUA(32]13)，故选：D．2z满足iz34i，则z（）A.1【答案】B【解析】B.5C.7 D.25【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．423234i4232【详解】由题意有z i ii 43i，故|z| 5．故选：B．若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a（ ）212【答案】A【解析】

12

C.1 D.1【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为a02a010a1．2故选：A．已知函数f(x)

112x

，则对任意实数x，有（ ）

f(x)=0

B.f(x)f(x)0C.f(x)f(x)1

D.f(x)f(x)13【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．1 1 2x 1fxfx

x x x

1A错误，C正确；xx12 12 12 121 1 2x 1 2x1 2fxfx

x x x

1x x x

，不是常数，故BD错误；12 12 12 12 21 21故选：C．已知函数f(x)cos2xsin2x，则（ ） A.f(x)在

上单调递减

f(x)在

上单调递增 2 6 412

7C.f(x)在0,3上单调递减

f(x)在 ,

上单调递增 412【答案】C【解析】【分析】化简得出fxcos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为fxcos2xsin2xcos2x.

对于A选项，当 x 时，2x ，则fx在2 6 3

26上单调递增，A错； x fx

,对于B选项，当 时， 2x ，则在4 12 2 6

412上不单调，B错； C选项，当0x02x2，则fx在0,上单调递减，C对； 33 3 D选项，当x72x7，则fx在7上不单调，D错.

412故选：C.设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当nN0时，an0”的（ ）充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】ndd0.【详解】设等差数列ndd0，记xx.若nd0，a10，则当n2ana10a10ana1n1d，aan1d0n1a1N

1a11nNa0，n 1 d

0 0 n所以，an是递增数列“N0nN0时，an0”；N0nN0an0kNkN0ak0，d0aankd0nkakkak

k，n k d dnkak1a0d0，即数列a是递增数列. d n n所以，an是递增数列“N0nN0an0”.所以，an是递增数列”是“N0nN0an0”的充分必要条件.故选：C.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）当T220P1026时，二氧化碳处于液态当T270P128时，二氧化碳处于气态当T300P9987时，二氧化碳处于超临界状态当T360P729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当T220P1026lgP3A错误.当T270P1282lgP3B错误.当T300P9987lgP4C错误.当T360P729时，因2lgP3,D正确.故选：D8.若(2x1)4ax4ax3ax2axaaaa

（ ）4 3 2 1 0 0 2 4A.40 B.41 【答案】B【解析】a0a2a4的值.x1a4a3a2a1a01，

40

D.41

3481，4 3 2 1 0aaa18141，4 2 0 2故选：B.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合TQSPQ5，则T表示的区域的面积为（ ）A.3 B. C.2 D.34【答案】B【解析】P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】6P在底面上的投影为OBO，则OABC的中心，633612且BO26 32 ，故PO33612

2 .3 2PQ5，故OQ1，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，2 3363而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为 4 1，336故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B在ABC中，AC3,BC4,C90．P为ABC所在平面内的动点，且PC1，则PAPB的取值范围是（ ）A.[5,3]

B.[3,5]

C.[6,4]

D.[4,6]【答案】D【解析】Pcosθ,sinθPAPB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C00A30B04，PC1P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，Pcosθ,sinθ，02，，PBcos,4sin，PAPBcos3cos4sinsincos23cos4sinsin213cos4sin15sin，其中sin3cos4，5 5因为1sin1，所以415sin6，即PAPB4,6；故选：D第二部分（非选择题共110分）5525分．1x11.f(x)1xx【答案】00,1

的定义域是 ．【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；fx1x故函数的定义域为,00,1；00,1

1x01x，所以x0 ，解得x1且x1x已知双曲线y23

23x1y3xm 3

x，则m ．【解析】【分析】首先可得m0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线y2

2x1，所以m0，即双曲线的y2xm

2xm1，xma1bm

，又双曲线y2

23x1的渐近线方程为y x，3xm 3ab

3，即1m3m

m3；3333fx)Asinx

3cosx的一个零点为 ，则A

；f ．3 12 2 【答案】 ①.1 ②.2 【解析】Af(x)2sin(xπ)x3

π，计算即可.12【详解】∵f(π) 3A30，∴A13 2 2∴f(x)sinx

3cosx2sin(xπ)32f(π)2sin(ππ)2sinπ212 12 3 42故答案为：12ax,

xa,fxx22,

若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．【答案】 ①.0（答案不唯一） ②.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数yax1的单调性进行分类讨论，可知，a0符合条件，a0不符合条件，a0时函数yax1f(x)y(x2)2a210或a21a22，解得0a1.a0时，f(x)

1 x02

，∴f(x)min0；(x2),x0a0xa时，f(x)ax1x时，f(x)f(x)没有最小值，不符合题目要求；a0时，xa时，f(x)ax1单调递减，f(x)f(a)a21，xaf(x)

{ 0 (0a2)min

(a2)2 (a2)∴a210或a21（a2，解得0a1，综上可得0a1；01已知数列annSnanSn9(n12,．给出下列四个结论：①an的第2项小于3； ②an为等比数列；③a为递减数列； ④a中存在小于1

的项．n n 100其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①③④【解析】a

99aa的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.n1 an an1n1 nNan0，n1a29a3；1当n2S

1na9Sna

9a

99，n1n

an1

an an1n9n所以，

9a

，则9a

3a23a

90，na2an1 an 2na2

3533，①对；2 22

92 81假设数列a为等比数列，设其公比为q，则a2aa，即 ，n 2 13

S2S

S1S3S2SS

，可得a21q2a21qq2，解得q02 131 故数列a2 131 当n2a

999an1an0，可得aa

，所以，数列a为递减数列，③对；n a a aa

n n1 nn nNan

1100

S100000100000

1100

1000，a

9

1，与假设矛盾，假设不成立，④对.100000

S100000

1000 100故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在ABCsin2C（1）求C；

3sinC．3（2）若b6，且ABC的面积为63（1）63（2）6+63

，求ABC的周长．【解析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.1详解】解：因为C0,，则sinC0，由已知可得3sinC2sinCcosC，可得cosC

3C.2 62详解】解：由三角形的面积公式可得S

1absinC3a62 2

a43.3由余弦定理可得c2a2b22abcosC483624363

312，c23，23所以，ABC的周长为abc6 6.32分别为A1B1，AC的中点．；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．ABMN；BMMN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案（1）见解析 （2）见解析【解析】MNBCC1B1.（2）选①②均可证明BB1平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.1详解】ABKMKNK，ABCA1B1C1ABB1A1为平行四边形，B1MMA1BKKAMK//BB1，而CNNABKKANK//BCNKBCC1B1，NKMKKNKMKMKN，，2详解】为正方形，故CBBB1，平面，故，ABMN，而NKAB，NKMNN，MK，BBB1ABC，B000,A020,N1,10M0,12，1,10BM0,12，BNM的法向量为nx,yz，BN0

xy0则n ，从而

z1n221，nBM0 y2z0ABBNM所成的角为，则sin

4 2.23 3，2MBMN，故BB1MMKN，所以BB1MMKN90A1B1BB1，而CBBB1CBABBBB1ABC，B000,A020,N1,10M0,12，1,10BM0,12，BNM的法向量为nx,yz，BN0

xy0则n ，从而

z1n221，nBM0 y2z0ABBNM所成的角为，则sin

4 2.23 350m含50m（单位：m：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；设XX（；在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）7【答案（1）0.4 （2）5（3）丙【解析】【分析】(1) 由频率估计概率即可XX的数学期望.计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，0.42详解】3设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A33P(X0)P(A1A2A3)0.60.50.520，0.40.50.50.60.50.50.60.50.58，200.40.50.50.40.50.50.60.50.57，202P(X3)P(A1A2A3)0.40.50.520.2∴X的分布列为X0123P320820720220∴E(X)03182732720 20 20 20 53详解】丙夺冠概率估计值最大.1因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为41

19.80的概率为10

9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.6x2 y2

A(0,1)已知椭圆：E: a2

1(ab0)的一个顶点为

，焦距为2 ．3E的方程；3P(2,1)kEB，CAB，ACxM，N，当|MN|2时，k的值．（1）（2）k4

x22y14y1【解析】

b13（1）2c23c2a2b2

，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）Bx1,y1、Cx2,y2ABAC的方程，xMxN，根据MN

xNxM

得到方程，解得即可；1详解】解：依题意可得b12c2

3，又c2a2b2，3所以a2，所以椭圆方程为

x22y4y

1；2详解】P2,1y1kx2Bx1,y1、Cx2,y2，不妨令2x1x22，y1kx2xx2由24 y1

y整理得14k2x216k28kx16k216k0，所以16k28k2414k216k216k0，解得k0，

16k28k14k2

16k216k，14k2MABy1y11xy0xMx1

x1 ，1y1y1

y21xy0xNx2N

x2，1y2，x2x21kx22

xNxM x21y2xx21y2x11k12x2kx2kx22x1kx12x22x1x2x12kx22x122x1x2x1x2kx22x12x1x2

kx22x12，xx 4xx1 2212即 kxx2xx 4xx1 221221 2 1 2 216k8k14k22 216k8k14k2416k216k14k2即 k

14k2

2

14k2

4 2k2k2k214k2k2k

2k14k2kk整理得k

4kk4

14k2 f(x)exln(1x)．yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；g(x)f(x)g(x在[0上的单调性；（3）st0，有f(st)（1）yx（2）g(x在[0上单调递增.证明见解析【解析】

f(s)f(t)．（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；m(x)f(xt)f(x)(xt0)m(x)m(0m(x)在[0,+∞）上单调递增，即得证.1详解】f(x)exln(1x)，所以f00，即切点坐标为00，又f(x)ex(ln(1x

1)，1xkf(0)1yx2详解】g(x)

f(x)ex(ln(1x)

1)，1xg(x)ex(ln(1x)

21x

1 )，(1x)2h(x)ln(1x

21x

1(1x)2， 1 2

x21则h(x) x(1xx(1x) (1x) (1x)

2 3

30，h(x在[0上单调递增，∴h(x)h(0)10g(x)0在[0上恒成立，g(x在[0上单调递增.3详解】解：原不等式等价于f(stf(s)

f(t)f(0)，m(x)f(xtf(x(xt0，m(x)m(0，∵m(x)f(xt)f(x)extln(1xt)exln(1x)，xt

ext x exm(x)e ln(1xt) eln(1x) g(xt)g(x)，由（2）g(x)

1xtf(x)ex(ln(1x)

11x

1x在0上单调递增，∴g(xt)g(x)，∴m(x)0m(x在0xt0，m(xm(0，所以命题得证.已知Q:a1a2akmn{12,m}Q中存在aiai1ai2,aijj0aiai1ai2aijnQm连续可表数列．判断Q:2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；若Qa1a2ak为8连续可表数列，求证：k4；（3）若Qa1a2,ak20a1a2ak20k7．（1）是5