第五节函数的极值与最大最小值

第五节函数的极值与最大最小值第一页，共二十七页，2022年，8月28日一、函数的极值及其求法第二页，共二十七页，2022年，8月28日注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(P146例4)为极大点,是极大值

是极小值为极小点,

第三页，共二十七页，2022年，8月28日函数极值的求法费马(fermat)引理----必要条件在驻点或者是连续不可导点中去寻找.因此寻求极值点的方法:注意:例如,第四页，共二十七页，2022年，8月28日定理1

(极值第一判别法)(是极值点情形)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,第五页，共二十七页，2022年，8月28日求极值的步骤:(不是极值点情形)(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点;(2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值,即为极值.第六页，共二十七页，2022年，8月28日例1.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第七页，共二十七页，2022年，8月28日定理2

(极值第二判别法)二阶导数,且则

在点

取极大值;则

在点

取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.第八页，共二十七页，2022年，8月28日例2解图形如下第九页，共二十七页，2022年，8月28日第十页，共二十七页，2022年，8月28日注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性.若ƒ(x)在驻点这三个函数在x=0处就分别属于这三种情况.从而当只能用第一充分条件来判定处的二阶导数ƒ(x)在处可能有极大值,也可能有极小值,例如:也可能没有极值.(只需点连续即可)第十一页，共二十七页，2022年，8月28日例3.

求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.第十二页，共二十七页，2022年，8月28日例4第十三页，共二十七页，2022年，8月28日定理3

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得第十四页，共二十七页，2022年，8月28日例如,例3中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的.

说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.第十五页，共二十七页，2022年，8月28日二、最大值与最小值问题

则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值----驻点和不可导点第十六页，共二十七页，2022年，8月28日特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)第十七页，共二十七页，2022年，8月28日例5.

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:故函数在取最小值0;在取最大值.第十八页，共二十七页，2022年，8月28日求最大值。例6.设是任意两正数，满足：解:设即求f(x)在(0,a)内的最大值令得是区间唯一的驻点，故为区间(0,a)之间的最大值第十九页，共二十七页，2022年，8月28日(k

为某一常数)例7.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,第二十页，共二十七页，2022年，8月28日实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例8.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日最值点应在极值点和边界点上找;f(x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。2.连续函数的最值

在实际问题中，如果f(x)有唯一的驻点，则一般为最值点。第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.第二十五页，共二十七页，202