第六章应力应变分析

第六章应力应变分析第一页，共六十七页，2022年，8月28日应力应变分析§.1一点处的应力状态§.2应力张量的表示方法§.3平面应力状态§.4应力圆§.5三向应力状态§.6应变状态(与平面应力状态对应的)§.7应力应变关系第二页，共六十七页，2022年，8月28日§.1一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度称为上的平均应力将分解为与法向和切向的力，第三页，共六十七页，2022年，8月28日内力与应力的概念第四页，共六十七页，2022年，8月28日则称为正应力（法向应力）

称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力第五页，共六十七页，2022年，8月28日应力的量纲第六页，共六十七页，2022年，8月28日一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度以及的法向相关,因此可用两个并在一起的矢量表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量第七页，共六十七页，2022年，8月28日§.2应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为第八页，共六十七页，2022年，8月28日或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示第九页，共六十七页，2022年，8月28日（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）第十页，共六十七页，2022年，8月28日同理上述关系称为剪应力互等定理设表示轴与轴的方向余弦。第十一页，共六十七页，2022年，8月28日则可以证明应力张量可用来描述一点的应力状态坐标变换矩阵第十二页，共六十七页，2022年，8月28日§11.3平面应力状态若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体第十三页，共六十七页，2022年，8月28日例如外力作用在板平面内的薄板第十四页，共六十七页，2022年，8月28日设不为0的应力分量都位于xy平面内第十五页，共六十七页，2022年，8月28日一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面上的应力,其与轴正向的夹角以逆时针方向为正初始单元体：第十六页，共六十七页，2022年，8月28日显然：由将代入

第十七页，共六十七页，2022年，8月28日由同理可得(a)(b)第十八页，共六十七页，2022年，8月28日第十九页，共六十七页，2022年，8月28日(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元体上剪应力为0的截面称为主平面第二十页，共六十七页，2022年，8月28日主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值、以主平面为单元体的各面称为主单元体第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日同理可求出的极值及第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日例已知初始单元体上的应力（Mpa）求主单元体上的应力并画出主单元体解：第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日§11.4应力圆一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日由(a)(b)第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日上两式两边平方后相加

第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆圆心坐标：半径：第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周

应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定点或由圆心,半径——画圆

应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力

第三十页，共六十七页，2022年，8月28日第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日应力圆画法第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日证明：第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日同理可以证明：

及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力

第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日任意两相互垂直截面上的正应力之和由(a)式第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日例确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：

第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日解：第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日主单元体：

第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日例2已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：初始单元体

第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日半径

主单元体：第四十页，共六十七页，2022年，8月28日§.5三向应力状态

将三个主应力按代数量的大小顺序排列

因此根据每一点的应力状态可以找到3个相互垂直的主应力第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日三向应力圆

空间任意方程截面上的应力，与三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。

一点处最大的剪应力

第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日三向应力圆第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日单向、双向、三向应力状态第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日例：求

解：

在，平面内

第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日三向应力圆如图

第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日注意：不是同一平面的应力不能用平面应力状态方法求解。

第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日§.6应变状态

（与平面应力状态对应的）一点的变形有线应变和剪应变，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形

在，坐标下

第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日第五十页，共六十七页，2022年，8月28日在，坐标下，方向到方向夹角

令，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有

第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日应变花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方位是重合的。第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日虎克定律

比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§.7应力应变关系1、单向应力状态第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日2、纯剪应力状态第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日在线弹性范围内

剪切虎克定律

——剪切弹性模量

可证明

第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日只有作用时3、广义虎克定律第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日对主单元体

例：已知一构件表面一点的应变

求该点的主应力和最大剪应力第五十九页，共六十七页，2022年，8月28日解：设

则

第六十页，共六十七页，2022年，8月28日整理后

第六十一页，共六十七页，2022年，8月28日例2已知，求设

解：

第六十二页，共六十七页，2022年，8月28日取一单元体体积受应力作用变形变形后的体积

4、体积变形第六十三页，共六十七页，2022年，8月28日单位体积的改变量

——体积应变

第六十四页，共六十七页，