2023届高考数学二轮复习微专题17与圆相关的定点定值问题学案

PAGEPAGE10微专题17与圆相关的定点、定值问题能使问题较为简捷地得到解决.例题：已知圆2＋29.点0)，在x轴上存在定点(不同于点PB对于圆O上任一点为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．1已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2PMl2P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以为直径的圆C变式2已知过点A(1k的直线l与圆C－22(y3)21相交于，N→→求证：AM·AN为定值7.1如图，已知以点)为圆心的圆与直线l相切．过点B(－1→→)的动直线l与圆A相交于MN的中点，直线ll1

相交于点P.BQ·BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．2OF(1，0)，Ml：x＝2FOMOM为直径的圆DP，Q若PQ＝6，求圆D若M是lP(2018·xOyO：x2＋y2＝1B在点A右侧)，点轴上方的动点P使直线求证：动点P设直线PA，PB与圆OS，T，求证：点Q，S，T(2017·xOy中，已知定点A(－4，0)，B(0，－2)，rMM在线段ABy轴右侧，圆M被y3r.若r＝2，求圆M当r在，请说明理由．答案：(1)(x－1)2＋(y－5)2＝4；(2)存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与圆相切． 322

＋m2＝r2，解析：(1)设圆心M(m，n)，由题意可知 解（m＋4）2＋n2＝m2＋（n＋2）2， 1m＝r，2 4＝r3，∴圆M的方程为(x－1)2＋(y－5)2＝4.5分 r k·－r－3＋b(2)设直线l：y＝kx＋b，则

21＋k2

＝r对任意r＞0恒成立，7分22k k 222由

－r＋b＝r＋k

－r＋(－2)(3)r＋(－32＝r2(1＋k2)，9分k 2－

＝1＋k2，

k＝，

4k＝－，∴ 计算得

313分（k－2）（b－3）＝0，（b－3）2＝0，

b＝3

＝3，微专题17例题59 5答案：B－，0.解法1如图，假设存在这样的点PB|t＋3|B(t，0)，当P为圆O与x轴左交(－3，0)时，＝ ；当P为圆O与x轴右交PA 2PB|t－3| |t＋3||t－3| 9点时，＝ ，依题意， ＝ ，解得舍)，或t＝－PA 8 2 8 5面证明：点 9

PB PB2B－对于圆O上任一点都有为一常数设则所以 ＝ 5 92

PA PA2＋＋y25（x＋5）2＋y218 81 18x2＋5x＋＋9－x2 （5x＋17）25 PA25 25 9 PB25 PA2 ＝x＋10x＋25＋9－x2

2（5x＋17）＝，从而＝为常数．PB解法2假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，所以(x－t)2＋PAy2＝[(＋5)＋y2y＝－2x22x＋＋9x2＝2(x＋10＋2＋9－2)，5λ2＝，即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，所 解得3λt29＝，λ＝， 3λ＝， 5

9 PB9或 (舍)，所以存在点B－对于圆O上任一点P，都有为t＝－，5

t＝－， 5 PA3常数.5变式联想变式12答案：(1)y＝±4(x－3)；(2)(3±22，0)．解析：(1)因为直线l过点A(3，0)，且与圆O：x2＋y2＝1相切，设直线l的方程为y1 1|3k|＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0，0)到直线l1

的距离为d＝

＝1，解得k＝k2＋12 2± ，所以直线l的方程为y＝±4 1 4

(x－3)．(2)对于圆方程x2＋y2＝1，令y＝0，得x＝±1，即)，又直线l2tAx轴垂直，所以直线l2

方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝ (xs＋1x＝3，＋1)．解方程 y＝ s＋13，4t同理可得，得P′ 3，

2tQ′ s－1.所以以P′Q′为直径的圆Cx－3)(x－3)＋s＋1s－1t 4t 2ts＋1s－1t

6x－2y－

＝又2＋21所以整理得x＋61＋ y＝若圆Cy＝0x2－6x＋1＝0x＝3±22，C2，0)．变式21M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y＝k＋1， 得(k2＋1)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以（x－）＋（－2＝，x＋x＝ x＋x＝ 1 2

k2＋1因为xx＝7.12 k2＋1→ → →→AM＝(xy1)，AN＝(xy1)，所以AM·AN＝xx(y1)(y1)＝xxk2xx1 1

2 12 1 7 →→

12 12＝(1＋k2)xx＝(1＋k2)xx＝(1＋k2) ＝7AM·AN7.12 1

1＋k2→→证法2由于M，N共线，所以AM·AN＝AM·AN＝(AC－1)(AC＋1)＝AC2－1＝7.串讲激活串讲1→→答案：BQ·BP＝－5.解析：因为AQ⊥BP，所 ＝0，所以 →→ →→ →→ →→→→解析：因为AQ⊥BP，所 ＝0，所以 →→BA·BP.当直线l与x轴垂直时，得 →

→ →→→→P－2，－.则BP＝0，－，又BA＝(1，2)，所以BQ·BP＝BA·BP＝－5.当直线l的2 2y＝x），斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)． 解得x＋2＋0，1＋2k－4k7－5k1＋2kP1＋2k， .→

－5，－5k

→→

10k →→1＋2k1＋2k－1＋2k1＋2k所以BP＝1＋2k1＋2k.所以BQ·BP＝

＝－5.综上所述，BQ·BP是定值，→→且BQ·BP＝－5.串讲2答案：(1)Dx－1)2＋(y－1)2＝2x－1)2＋(y＋1)2＝2；(2P2 t2 t22(1)设M(t)，则圆D(x1)y－1＋4，直线PQ2x＋ty－2＝0，由PQ＝6，1＋t24－1＋t24－t22＋－2224＋t2＝2或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)1P(x，y(1)知0 0 t2 t2（x1）y－＝1＋， 0 0 2 42x＋ty－2＝0，0 0x2＋y－2x－ty＝，即0 0 0 02x＋ty－＝，0 0tx2＋y2＝2.所以点Px2＋y2＝20 0y解法2设P(x，y)，则直线FP的斜率为k＝ 0 ，因为FP⊥OM，所以直线OM的斜0 0

x－10x－1 x－1率为k＝－0 ，所以直线OM的方程为y＝－0 x.点M坐标为yy0 2，－.因为x(x 2（x－12，－.因为x(x

2（x－1 y 0

0 0 0 y 0＝0，所以x2＋y2＝2，所以点P在定圆x2＋y2＝2上0 0解法3设直线PQ与OM交于点HA(20)O2＝OH·OMOHOM＝OF·OA＝2，所以OP2＝2，所以点P在定圆x2＋y2＝2上．新题在线证明：(1)由题设知A(－1，0)，B(1，0)．y y y设P(x，y)(y＞0)，则k＝ 0 ，k＝ 0 ，k＝ 0 .0 0 0

PQ x0

PA x0

PB x0

2y y因为直线2k＝k＋k

0＝ 0PQ PA PB

x＋2x＋10 0y 1＋ 0 ，解得x＝－，即动点Px－10

0 2(2)由(1)知P－，y，k＝2y＝－yPAy＝2yx＋1(2)由(1)知P－，y，k＝2y＝－yPAy＝2yx＋1 2 PA 0 PB 30 0x2＋y2＝1(x＋1)[(1＋4y2)x－(1－4y2)]＝0，0 01－4y2 4y所以点S的横坐标x＝ 0