福建省泉州第十六中学高一数学5月月考试题含解析

PAGE20-福建省泉州第十六中学2019-2020学年高一数学5月月考试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据两角差的余弦公式计算，即可得答案；【详解】，故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意展开的右边是加号.2.在中，若，，，则角的大小为（）A. B.或 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出，再根据角的范围，即可得解.【详解】在中，由正弦定理,得，即，解得，又因为，且，所以或，故选：B.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，熟记正弦定理即可，属于基础题.3.若复数满足(i为虚数单位），则复数在复平面内对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C．4.已知定义在复数集上的函数满足，则（）A. B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先求内层函数的值，再根据的值所在定义域计算出的值即可.【详解】根据题意，，，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数和复数的简单计算，根据自变量所处的范围准确选择函数解析式是本题的解题关键，属于基础题.5.如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先画出圆锥的侧面展开图如图所示，再求线段BC的长度，即得点经圆锥侧面到点的最短距离.【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，由题得圆锥底面圆的半径为，所以,所以,所以BC=.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考察学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.6.一直线与其外三点，，可确定的平面个数是（）A.1个 B.3个 C.1个或3个 D.1个或3个或4个【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质及其推论即可得出结果.【详解】当，，三点共线时，只能确定一个平面；当，，三点不共线时，且其中两点连线与已知直线平行，这样的平面有3个；当，，三点不共线时，且任意两点连线与已知直线不平行，则一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，平面外的三个点也可以确定一个平面，这样可确定的平面最多就可以达到4个.综上，直线与其外三点，，可确定的平面个数是1个或3个或4个.故选：D.【点睛】本题主要考查平面的基本性质及其推论，熟练掌握平面的基本性质及其推论是解题的关键，属于基础题.7.是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，画对应的轴，轴，使，如下图所示，结合图形，的面积为，作，垂足为，则，，所以的面积，即原图和直观图面积之间的关系为，所以，的面积为.故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积关系，属于基础题.8.过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取对角线顶点所不在的两个侧棱的中点M,N,与对角线两个顶点相连，所得四边形即为所有过对角线的截面中面积最小的，由此可求出截面面积.【详解】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.【点睛】本题主要考查了正方体的截面面积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.9.已知向量，满足：，，，且，则最小值为A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，把看作，根据坐标系，和向量的坐标运算，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出．【详解】解：由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选A．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．10.如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A.1 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】把正四面体补成正方体，在正方体内利用截面为平行四边形，有，进而利用基本不等式即可得解.【详解】因为四面体为正四面体，所以，如图所示，补全四面体为正方体，设截面分别交面，面，面，面于，，，，连接，，，，根据正方体的性质，则四边形为平行四边形，且，，由，两式相加可得，因为，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以，该多边形截面面积最大值为1.故选：A.【点睛】本题考查了平面的基本性质及推论，其中涉及到基本不等式的应用，用了割补法，属于中档题.二、不定项选择题（本大题共2小题，共10.0分）11.下列命题错误的是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形【答案】ABD【解析】【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.【详解】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.综上，ABD错误.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.12.下列说法中错误的为A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上的正射影的数量为D.三个不共线的向量，，，满足，则是的内心【答案】AC【解析】分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A不正确；对于B，向量，，，，向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，若，则在上的投影为，故C错误；对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，由，可知垂直于角的外角平分线，所以，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，故点是的内心，D正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.把一个底面半径为3cm，高为4cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm【答案】3【解析】【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：，球的体积：，所以，解得.【点睛】圆柱的体积公式：；球的体积公式：.14.函数在上减区间为_____．【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间.【详解】函数根据正弦函数减区间可得:,解得:,故函数的减区间为:再由,可得函数的减区间为故答案为:【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.15.如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则．【答案】【解析】试题分析：所以，则；考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；16.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是______.【答案】③【解析】【分析】由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④.【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误；③过两平行直线有且只有一个平面，故正确；④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误.故正确命题的序号是③.故答案为：③.【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）的值为或；（2）或.【解析】【分析】（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于的方程，解此方程，即可得解；（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出的值，进而得到，利用向量模的坐标运算即可得解.【详解】（1），则，即，解得或.所以，的值为或.（2）若，则，即，解得或，当时，，，，，当时，，，，.故或.【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.18.已知，（，为虚数单位），（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义即可得解；（2）求出和，代入，利用复数代数形式的乘除运算及复数模的计算公式进行求解.【详解】解：（1）为纯虚数，则，解得，所以的值为0；（2）当时，，，，所以.【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.19.某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：米）的半球体，下层是半径为米，高为米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设每座帐篷的建造费用为千元.参考公式：球的体积，球的表面积，其中为球的半径.（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.【答案】（1），定义域为；（2）当半径为时，建造费用最小，最小为千元．【解析】【分析】（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，即可求出函数的定义域（2），，根据导函数求出其最小值即可．【详解】解：（1）由题意可得，所以，所以，即；因为，，所以，则，所以定义域为，故，定义域为；（2）设，，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取极小值也是最小值，且．当半径为时，建造费用最小，答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．【点睛】本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．20.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.求证：（1）四点共面；（2）三线共点.【答案】（1）见证明（2）见证明【解析】【分析】（1）连接，结合平面几何知识可证得，于是可得结论成立．（2）由题意可得直线与必相交，设交点为，然后再证明点在平面与平面的交线上，进而得到结论成立．【详解】证明：（1）连接.∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．【点睛】（1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内．（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此可得点共线．21.已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且.（1）求角的大小；（2）若，求的外接圆的半径的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将原式化简，求得的值，再结合三角形的内角和，即可求出角的大小；（2）利用正弦定理以及，求得，再借助三角恒等变换及三角函数的取值范围得到，从而，进而求得结果.【详解】（1）由题意，，得，即，又