第一章 集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）【核心要点梳理+知识架构建模】 高考数学高分突破冲刺必背 （新教材）

集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．典例1：已知集合，，则的子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】B【详解】因为集合，，所以，所以的子集的个数为个.故选B.典例2：已知集合，则集合的真子集的个数为（）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】D【详解】由题意得，其真子集有个.故选D.（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等eq\a\vs4\al(∀)存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等eq\a\vs4\al(∃)9.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（