圆周运动讲解

圆周运动圆周运动1．物体做匀速圆周运动的条件：匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。2．描述圆周运动的运动学物理量（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v、角速度ω、周期T、转速n、向心加速度a等。它们之间的关系大多是用半径r联系在一起的。如：，。要注意转速n的单位为r/min，它与周期的关系为。（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：，公式中的线速度v和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动的公式有：，因为周期T和转速n没有瞬时值。二、匀速圆周运动的描述1．线速度、角速度、周期和频率的概念(1)线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为;其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s；（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为；在国际单位制中单位符号是rad／s；(3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r／s，以及r／min．2、速度、角速度、周期和频率之间的关系线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v＝rω．，，。由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反比．三、向心力和向心加速度1．向心力（1）向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因．（2）向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向．2．向心加速度（1）向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量．（2）向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为公式：线速度V＝s/t＝2πr/T2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合5.周期与频率：T＝1/f6.角速度与线速度的关系：V＝ωr7.角速度与转速的关系ω＝2πn(此处频率与转速意义相同)8.主要物理量及单位：弧长s:米(m)；角度Φ：弧度（rad）；频率f：赫（Hz）；周期T：秒（s）；转速n：r/s；半径r：米（m）；线速度V：（m/s）；角速度ω：（rad/s）；向心加速度：（m/s2）。二、向心力和加速度1、大小F＝mω2r向心加速度a：（1）大小：a=2f2r（2）方向：总指向圆心，时刻变化（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。图3－14r2rrrabcd例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b图3－14r2rrrabcdA．a点与b点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的线速度大小相等D．a点与d点的向心加速度大小相等解析：本题的关键是要确定出a、b、c、d四点之间的等量关系。因为a、c两点在同一皮带上，所以它们的线速度v相等；而c、b、d三点是同轴转动，所以它们的角速度ω相等。所以选项C正确，选项A、B错误。设C点的线速度大小为v，角速度为ω，根据公式v=ωr和a=v2/r可分析出：A点的向心加速度大小为；D点的向心加速度大小为：。所以选项D正确。选项CD正确。说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间的关系。如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传动（不考虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。练习C图3－4AB1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，，。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点的角速度之比是；线速度之比是；向心加速度之比是C图3－4AB2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（）。A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n图3-7AB3．(92)图3-7中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的。一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小为______，刚滑过B图3-7AB3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：其中r为圆运动半径。（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。（4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形受力分析利用向心力公式

例题2.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，Ａ的质量为，Ｂ、Ｃ质量均为，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（）A.Ｃ物的向心加速度最大；B.Ｂ物的静摩擦力最小；C.当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；D.当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。解析：当三者都相对圆盘静止时，角速度相同，所以向心加速度分别为:ω2R、ω2R、ω22R，所以Ｃ物的向心加速度最大，选项A正确。Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体随圆台转动所需要的向心力由静摩擦力提供，大小分别为：2mω2R、mω2R、mω22R，Ｂ物体的静摩擦力最小，选项B正确。要比较哪个物体最先打滑，就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力，三者为：μ2mg、μmg、μmg,可见C物体先滑动，选项C正确，B错误说明：一定要注意做匀速圆周运动的物体受力能提供的向心力和实际运动所需要的向心力的关系，当旋转圆转速增加时，物体随圆盘转动需要的向心力（静摩擦力提供）也要增加，当提供不足时物体就做离心运动。练习图3-12OBA4.如图3—12所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R，在转台边缘放一物块A，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。若在物块A与转轴中心O连线中点再放一与A完全相同的物块B（A、B均可视为质点），并用细线相连接。当转动角速度图3-12OBA4．竖直平面内圆周运动的临界问题：图3-7mg图3-7mgO如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即，则有临界速度。只有当时，小球才能通过最高点。图3-8mgON如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当v<时，小球受向上的弹力；当时，球和杆之间无相互作用力；当v>时，球受向下的弹力。图3-8mgON可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。图图4-4aOb例题3.（99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A.a处为拉力，b处为拉力B.a处为拉力，b处为推力C.a处为推力，b处为拉力D.a处为推力，b处为推力解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a、b两点时，所受的合力都为指向O点。当小球运动到a点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向O点，则要求杆必对小球施竖直向上的拉力。当小球运动到b点时，小球受到竖直向下的重力mg的作用，当球的速度较小时（小于，l为杆的长度），mg大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于），mg小于球做圆周运动所需的向心力，此时要球杆对小球放竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球在b点时所需要的向心力。因此小球在b点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b点时的速度大小。综上所述，本题的正确选项为A、B。练习图3-14vAO7.如图3－14图3-14vAOA.球在最高点时对管的作用力为零B.小球在最高点时对管的作用力为mgC.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大8.如图3－13所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A。今给它一个水平初速度，则物体将（）图3-13Mm图3-13MmORv0B.沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C.立即离开半球面做平抛运动D.以上说法都不正确5．有关圆周运动问题的分析思路圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。解决有关圆周运动问题的思路是：ⅰ．确定研究对象；ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置；ⅲ．对研究对象进行受力分析；ⅳ．在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解；ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程；图10O图10O′ORHH/2A例4．（09广东）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。解析：物块受力如图所示图10mgθNma①由平衡条件得N-mgcosθ=0，图10mgθNma其中得摩擦力为支持力为②这时物块的受力如图所示由牛顿第二定律得得筒转动的角速度为图ωRmh53°37°ABC例5．（山东卷）(16分)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为μ=0.5。A点离B点所在水平面的高度图ωRmh53°37°ABC(1)若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落?(2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。(3)从滑块到达B点时起．经0．6s正好通过C点，求BC之间的距离。解析：(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：μmg=mω2R①代入数据解得:ω==5rad/s②(2)滑块在A点时的速度:vA=ωR=1m/s③从A到B的运动过程由动能定理:mgh-μmgcos53°-④在B点时的机械能:EB=⑤(3)滑块在B点时的速度:vB=4m/s⑥滑块沿BC段向上运动时的加速度大小:a1=g(sin37°+μcos37°)=10m/s2⑦返回时的加速度大小:a2=g(sin37°-μcos37°)=2m/s2⑧BC间的距离:sBC==0.76m⑨练习9．（09安徽）（20分）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.20，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。RR1R2R3ABCDv0第一圈轨道第二圈轨道第三圈轨道LLL110.（06重庆）(20分)(请在答题卡上作答)如题25图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：(1)待定系数β;(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。6．人造卫星的匀速圆周运动1.人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行，为使问题简化，我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。2.卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T都与轨道半径r有关：r越大，v越小，ω越小，T越大（）当卫星贴地球表面绕行时，其周期最短，约为84分钟。3.运行速度与发射速度：对于人造地球卫星，由算出的速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大。关于第一宇宙速度的两种推导方法：（1）由，R为地球半径，M为地球质量，可得第一宇宙速度。（2）由，g为地表重力加速度，R为地球半径，可得第一宇宙速度。4.地球同步卫星的特点：所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转，则卫星运行周期等于地球自转周期24小时。为了维持这种同步状态，卫星的轨道平面必定与地球的赤道平面重合。通过计算可知，地球同步卫星的轨道高度，在赤道上空36000km处。例6：（05全国Ⅱ卷）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）Ａ．月球的质量Ｂ．地球的质量Ｃ．地球的半径Ｄ．月球绕地球运行速度的大小解析：设地球的质量为M，月球的质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律有GMm/r2=4π2mr/T2。从上述表达式可看出：（1）等式两侧的m消掉了，因此不可能利用这些数据求得m（月球的质量）。（2）此式中的r的物理意义：在等式的左侧表示行星到恒星的距离；在等式的右侧表示行星绕恒星运动的轨道半径。因此不可能用此式求出地球的半径。（3）由上式可推导出M=，因此可计算出地球的质量。即选项B正确。最后，关于“月球绕地球运行速度的大小”，可以从运动学角度进行分析：v=2πR/T，因此可