2017全国初中数学联赛初二卷

2017年全国初中数学结合比赛试题初二卷第一试一、选择题：（此题满分42分，每题7分）1.已知实数a,b,c知足2a13b3c90，3a9bc72，则3bc的值为（）.a2bA.2B.1C.0D.12.已知实数a,b,c知足abc111，则a2221，01b3c5a1b3c5的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c知足abc且abc2abc，则称a,b,c为好数组.那么好数组的个数为（）.4.已知正整数a,b,c知足a26b3c90，6ab2c0，则a2b2c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB3，BC4，CD2，AD1，则梯形的面积为（）.A.102B.103C.32D.33336.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，A90，

AD点E在AB上，若AE42，BE28，BC70，DCE45，则DE的值为（）.EA.56B.58C.60D.62BC二、填空题：（此题满分28分，每题7分）1.使得等式11a3a建立的实数a的值为________.2.已知△的三个内角知足ABC100.用表示100C,CB,BA中的最小者，ABC则的最大值为________.3.设a,b是两个互质的正整数，且p8ab3为质数.则p的值为________.ab4.20个都不等于7的正整数排成一行，若此中随意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（此题满分20分）设A,B是两个不一样的两位数，且B是由A互换个位数字和十位数字所得，假如A2B2是完整平方数，求A的值.二、（此题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE均分ADB，均分ADC，DFBEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：EF2PD.AEPFBDC三、（此题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且5ab为有理数，求5bca2b2c2的最小值.abc2017年全国初中数学结合比赛试题初二卷参照答案第一试一、选择题：（此题满分42分，每题7分）1.已知实数a,b,c知足2a13b3c90，3a9bc72，则3bc的值为（）.a2bA.2B.1C.0D.1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：由于所求分式的特色能够想到把a2b，3bc当作一个整体变量求解方程.分析：已知等式可变形为2a2b33bc90，3a2b3bc72，解得a2b18，3bc18，所以3bc1.a2b2.已知实数a,b,c知足abc1，111，则a22201b3c5a1b3c5的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：能够想到换元法.分析：设xa1，yb3，zc5，则xyz10，1110，xyzxyxzyz22222xyxzyz100.0，由xyzxyz则a2b252100.13c3.若正整数a,b,c知足abc且abc2abc，则称a,b,c为好数组.那么好数组的个数为（）.答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先经过abc且abc2abc的限制关系确立可能的种类，再经过列举法一一考证.分析：若a,b,c为好数组，则abc2abc6c，即ab6，明显a1或2.若a1，则bc21bc，即b2c26，可得a,b,c1,3,8或1,4,5，共2个好数组.若a2，则b2或3，可得b2,c4；b3,c5，不是整数舍去，共1个好数组.2共3个好数组a,b,c1,3,8,1,4,5,2,2,4.4.已知正整数a,b,c知足a26b3c90，6ab2c0，则a2b2c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，经过a,b是正整数的限制，列举出全部可能，并一一代入原方程考证，最后确立结果.分析：联立方程可得a23b275，则3b129175，即1b6.当b1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b6时，a9，切合要求，此时c18，代入考证知足原方程.所以，a9，b6，c18，则a2b2c2441.5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB3，BC4，CD2，AD1，则梯形的面积为（）.A.102B.103C.32D.3333AD答案：A对应讲次：BHEC所属知识点：平面几何思路：经过作平行四边形把边长关系转变到一个三角形中来.分析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BEBCCEBCAD3AB，则△ABE是等腰三角形，BEAB3，AE2，经计算可得AH42.3所以梯形ABCD的面积为11442102.2336.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，A90，ADF点E在AB上，若AE42，BE28，BC70，DCE45，则DE的值为（）.EA.56B.58C.60D.62BC答案：BG对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转变到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.分析：作CF⊥AD，交AD的延伸线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，EGED.设DEx，则DFBGx28，AD98x.在Rt△EAD中，有422982x2，解得x58.x二、填空题：（此题满分28分，每题7分）1.使得等式11a3a建立的实数a的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：经过等式两边都6次方能够去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要考证结果能否知足最先的等式.113分析：易得aa2.令x1a，则x0，代入整理可得xx3x120，解得x10,x23,x31，舍负，即a1或8，考证可得a8.2.已知△ABC的三个内角知足ABC100.用表示100C,CB,BA中的最小者，则的最大值为________.答案：20对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几此中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的状况.分析：Q100C，CB，BA1C2CBBA2031006又当A40,B60,C80时，20能够取到.则的最大值为20.3.设a,b是两个互质的正整数，且p8ab3为质数.则p的值为________.ab答案：7对应讲次：所属知识点：数论3思路：由于p是质数，只好拆成1和p，另一方面经过ab、a、b两两互质来拆分8ab的ab可能种类，最后分类议论，要么与条件矛盾，要么得出结果.分析：由于a,b互质，所以ab、a、b两两互质，由于8ab3质数，所以abab318可得ab1，p4，不是质数舍；pabab3p8可得a7，b1，p7，切合题意.1b则p7.4.20个都不等于7的正整数排成一行，若此中随意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1知足题设要求，其和为34，接下来只要要考虑该数列能否为和最小的数列.ann20,nN*，考虑ak,k1k6分析：设该正整数列为ai,L,aik14,kN*，依抽ikik屉原理必定有两项模7的余数同样，则该两项的差是7的倍数，于是随意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不可以为7，则最小为14.于是20个数中起码有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的状况.第二试一、（此题满分20分）设A,B是两个不一样的两位数，且B是由A互换个位数字和十位数字所得，假如A2B2是完整平方数，求A的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：关于需要考虑不一样位数上数字的状况，能够把一个两位数ab设为10ab，转为为代数问题，再利用完整平方数的质因数分解式也是以完整平方数对的形式出现，综合剖析全部限制下可能性，最后确立结果.分析：设A10ab1a,b9,a,bN，则B10ba，由A,B不一样得ab，A2B210ab22911abab.5分10ba由A2B2是完整平方数，则ab，11|abab，可得ab11，10分ab也是完整平方数，所以ab1或4.15分若ab1，则a6，b5；若ab4，则没有正整数解.所以a6，b5，A65.20分二、（此题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE均分ADB，均分ADC，DFBEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：EF2PD.AEPF对应讲次：BDC所属知识点：平面几何思路：由于EF、都在△DEF中，所以想方法推出其性质，比较简单得出EDF90，PD此时若能得出EPPD，则自然能够获得结论.分析：由DE均分ADB，DF均分ADC，可得EDF90.5分由BEDE得BE∥DF，则EBDFDC.10分又BDDC，BEDDFC90，则△BED≌△DFC，BEDF.15分得四边形BDFE是平行四边形，PEDEDBEDP，EPPD.20分又△EDF是直角三角形，EF2PD.25分三、（此题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且5ab为有理数，求5bca2b2c2的最小值.abc答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：经过a,b,c是正整数，能够把有理部分和无理部分分别考虑.注意到5bc0，能够经过分母有理化来实现分别，再利用a