第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小

第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小第一页，共五十一页，2022年，8月28日一、函数极限的定义

本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：第二页，共五十一页，2022年，8月28日函数的极限六种存在形式即函数极限的两种主要形式如下第三页，共五十一页，2022年，8月28日1.自变量趋于有限值时函数的极限

考虑自变量趋近于有限值，记这一变化过程为

仿照数列极限的定义，给出时函数的极限的定义.第四页，共五十一页，2022年，8月28日则第五页，共五十一页，2022年，8月28日讨论单侧极限2函数值无限接近于2.函数值无限接近于2.第六页，共五十一页，2022年，8月28日左极限右极限记作第七页，共五十一页，2022年，8月28日左右极限存在但不相等,例1证结论：第八页，共五十一页，2022年，8月28日小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等。第九页，共五十一页，2022年，8月28日2.自变量趋于无穷大时函数的极限

自变量表示及，对正数，表示及.定义2

如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式那么常数就叫函数当时的极限，记作第十页，共五十一页，2022年，8月28日另两种情形:结论：第十一页，共五十一页，2022年，8月28日二、函数极限的性质

1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.

定理,2.唯一性

若)(limxf存在则极限唯一.第十二页，共五十一页，2022年，8月28日定理(保号性)推论3.局部保号性第十三页，共五十一页，2022年，8月28日定理1极限的四则运算法则三、极限的运算法则第十四页，共五十一页，2022年，8月28日推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3数,则第十五页，共五十一页，2022年，8月28日定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到或以及（3）中的某些情形：（1）当时，而时，（2）当时，而时，（3）当时，而时，（4）当时，而时，（5）当时，而时，第十六页，共五十一页，2022年，8月28日.,0)(0则商的法则不能应用．可用推广的若=xQ公式求．第十七页，共五十一页，2022年，8月28日例1

求解当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限第十八页，共五十一页，2022年，8月28日例2求极限解当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限．第十九页，共五十一页，2022年，8月28日解：原式例3求解:原式又例:求第二十页，共五十一页，2022年，8月28日

极限存在准则第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日四、两个重要极限(1)注此结论可推广到第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日注意：解第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日例2

求xxx3sinlim0®解xxx3sinlim0®解例4解第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日解当¥®n时,因此例6,有例5求解第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日例7求解于是练习解第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日(2)利用数列公式第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日用变量代换可求出第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日此结论可推广到注第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日

注意：第三十页，共五十一页，2022年，8月28日

例1

解第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日例2解一般地例3求解一解二第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日例4

求解例5解第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日解解解练习第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日解.解.4.第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日思考题第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日思考题求极限思考题解答第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日无穷小量与无穷大量一、无穷小量在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义定义1:在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）.当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小第四十页，共五十一页，2022年，8月28日证必要性充分性意义将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日无穷小的性质（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.（3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.（4）常数与无穷小的乘积是无穷小.例1解第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日二、无穷大量记作记作注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日三、无穷小与无穷大的关系意义

据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理3

在自变量的同一变化过程中,

0C

型再利用无穷小与无穷大之间的关系,可得:解第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日例3解(无穷小因子分出法)【注】对¥¥型的有理式函数的极限,由于分子分母极限为¥,极限不存在,不能用法则,先对分子、分母同除以x的最高次幂再求极限。第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日¥-¥型

【注】对¥-¥型的有理式函数求极限,先通分,后求极限。例4解原式第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日练习：求解一般地,设0,000¹¹ba,nm,为正整数,则解第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日2.3.3极限的复合运算法则定理5（极限复合运算法则——变量代换法则）例5解第四十八页，共五十一页，2022年，8月28日三、小结函数极限的统一定义(见下表)第四十九页，共五十一页，2022年，8月28日过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第五十页，共五十一页，2022年，8月28日