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文档简介
等比数列前项和公式的推导及性质第一页,共三十八页,2022年,8月28日
引入:印度国际象棋发明者的故事(西萨)第二页,共三十八页,2022年,8月28日引入新课它是以1为首项公比是2的等比数列,分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,共有64格每格所放的麦粒数依次为:麦粒的总数为:第三页,共三十八页,2022年,8月28日请同学们考虑如何求出这个和?这种求和的方法,就是错位相减法!
如果1000粒麦粒重为40克,那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示,全世界小麦的年产量约为6亿吨,就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦,国王无论如何是不能实现发明者的要求的。第四页,共三十八页,2022年,8月28日如何求等比数列的Sn:①
②
①—②
,得错位相减法第五页,共三十八页,2022年,8月28日1.使用公式求和时,需注意对和的情况加以讨论;2.推导公式的方法:错位相减法。注意:显然,当q=1时,第六页,共三十八页,2022年,8月28日(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为:第七页,共三十八页,2022年,8月28日Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q证法二:借助Sn-an=Sn-1
第八页,共三十八页,2022年,8月28日(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以
用等比定理:证法三:第九页,共三十八页,2022年,8月28日已知a1
、n、q时已知a1
、an、q时等比数列的前n项和公式知三求二第十页,共三十八页,2022年,8月28日
(1)
等比数列前n项和公式:等比数列前n项和公式你了解多少?Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)
(2)
等比数列前n项和公式的应用:1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提;2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。利用“错位相减法”推导
(3)
两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二:第十一页,共三十八页,2022年,8月28日例1、求下列等比数列前8项的和第十二页,共三十八页,2022年,8月28日说明:2.1.第十三页,共三十八页,2022年,8月28日例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?分析:第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内的总产量为:第十四页,共三十八页,2022年,8月28日1.数列{2n-1}的前99项和为(
)A.2100-1
B.1-2100C.299-1 D.1-299答案:C第十五页,共三十八页,2022年,8月28日2.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为(
)A.4 B.5C.6 D.7答案:C第十六页,共三十八页,2022年,8月28日3.已知等比数列{an}中,an>0,n=1,2,3,…,a2=2,a4=8,则前5项和S5的值为________.答案:31第十七页,共三十八页,2022年,8月28日4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+…+an=2n-1,则a12+a22+…+an2等于________.第十八页,共三十八页,2022年,8月28日5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求公比q的值.第十九页,共三十八页,2022年,8月28日第二十页,共三十八页,2022年,8月28日第二十一页,共三十八页,2022年,8月28日第二十二页,共三十八页,2022年,8月28日第二十三页,共三十八页,2022年,8月28日第二十四页,共三十八页,2022年,8月28日第二十五页,共三十八页,2022年,8月28日第二十六页,共三十八页,2022年,8月28日第二十七页,共三十八页,2022年,8月28日第二十八页,共三十八页,2022年,8月28日[点评]在求含有参数的等比数列的前n项和时,容易忽略对a=1和q=1的讨论,从而丢掉一种情况.第二十九页,共三十八页,2022年,8月28日[题后感悟]错位相减法一般来说,如果数列{an}是等差数列,公差为d;数列{bn}是等比数列,公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.第三十页,共三十八页,2022年,8月28日在运用错位相减法求数列的和时,要注意以下四个问题:(1)注意对q的讨论,在前面的讨论中,我们已知q是等比数列{bn}的公比,所以q≠0,但求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1时,就应分x=0、x=1和x≠0且x≠1三种情况讨论.(2)注意相消的规律.(3)注意相消后式子(1-q)Sn的构成,以及其中成等比数列的一部分的和的项数.(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.第三十一页,共三十八页,2022年,8月28日第三十二页,共三十八页,2022年,8月28日第三十三页,共三十八页,2022年,8月28日第三十四页,共三十八页,2022年,8月28日.3求和:第三十五页,共三十八页,2022年,8月28日第三十六页,共三十八页,2022年,8月28日第三十七页,共三十八页,2022年,8月28日1.已知数列前n项和sn=2n-1,则此数列的奇数项的前n
项的和是
.
2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,
a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出{an}及{bn}的前10
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