2023届广东省培正中学数学高一下期末达标检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是()A． B． C． D．3．已知数列的前项为和，且，则（）A．5 B． C． D．94．已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（）A．256 B．510 C．512 D．10246．设等比数列的前项和为，若，则（）A． B．2 C． D．7．执行如图所示的程序语句，输出的结果为()A． B．C． D．8．将图像向左平移个单位，所得的函数为（）A． B．C． D．9．已知函数的部分图象如图所示，则的值为()A． B． C． D．10．若，则在中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．_______________。12．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是；13．已知且，则________14．382与1337的最大公约数是__________.15．在中，，，，点在线段上，若，则的面积是_____．16．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．四棱锥中，，，底面，，直线与底面所成的角为，、分别是、的中点．（1）求证：直线平面；（2）若，求证：直线平面；（3）求棱锥的体积．18．在直角坐标系中，已知以点为圆心的及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.19．已知关于的函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.20．若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知且求的值。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

△OAB为锐角三角形等价于,再运算即可得解.【详解】解：由题意可得,,由△OAB为锐角三角形，则,即，解得：，即的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.2、D【解析】

圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】∵圆锥的底面周长为

∴圆锥的底面半径

双∵圆锥的母线长∴圆锥的高为∴圆锥的体积为故选D.【点睛】本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键．3、D【解析】

先根据已知求出数列的通项，再求解.【详解】当时，，可得；当且时，，得，故数列为等比数列，首项为4，公比为2.所以所以.故选D【点睛】本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、B【解析】即对任意都成立，当时，当时，当时，归纳得：故选点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列的前项和为，为求的取值范围则根据为奇数和为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果5、C【解析】

因为，所以，则因为数列的各项均为正数，所以所以，故选C6、C【解析】

根据等比数列前项和为带入即可。【详解】当时，不成立。当时，则,选择C【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。7、B【解析】

通过解读算法框图功能发现是为了求数列的和，采用裂项相消法即可得到答案.【详解】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是求的值，输出的结果为，故选B.【点睛】本题主要考查算法框图基本功能，裂项相消法求和，意在考查学生的分析能力和计算能力.8、A【解析】

根据三角函数的图象的平移变换得到所求．【详解】由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．9、C【解析】

结合函数图像，由函数的最值求出A，由周期求出，再由求出的值.【详解】由图像可知：,故，又，所以又，故：.故选:C【点睛】本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.10、C【解析】

令，则，当1≤n≤14时，画出角序列终边如图，其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出，然后根据两角差的正弦公式化简得出，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。【详解】，故答案为【点睛】本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有、、以及，考查化归与转化思想，是中档题。12、1【解析】考查向量的投影定义，在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值13、【解析】

根据数列极限的方法求解即可.【详解】由题,故.又.故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型.14、191【解析】

利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.【详解】因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.【点睛】本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.15、【解析】

过作于，设，运用勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】过作于，设，，，，又，可得，即有，可得的面积为．故答案为．【点睛】本题考查解三角形，考查勾股定理的运用，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．16、【解析】

先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）由中位线定理可得，，再根据平行公理可得，，即可根据线面平行的判定定理证出；（2）根据题意可计算出，而是的中点，可得，又，即可根据线面垂直的判定定理证出；（3）根据等积法，即可求出．【详解】（1）证明：连接，，，、是、中点，，从而．又平面，平面，直线平面；（2）证明：，，．底面，直线与底面成角，．．是的中点，．，．面，面，直线平面；（3）由题可知，，．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于基础题．18、（1）；（2）或【解析】

（1）由圆的方程求得圆心坐标和半径，依题意可设圆的方程为，由圆与圆外切可知圆心距等于两圆半径的和，由此列式可求得，即可得出圆的标准方程；（2）求出所在直线的斜率，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求得，则直线方程即可求出.【详解】（1）因为圆为，所以圆心的坐标为，半径.根据题意，设圆的方程为.又因为圆与圆外切，所以，解得，所以圆的标准方程为.（2）由题意可知，所以可设直线的方程为.又，所以圆心到直线的距离，即，解得或，所以直线的方程为或.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，其中运用了两圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和，还涉及到圆的方程、直线的方程和点到直线的距离公式.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、（Ⅰ）（Ⅱ）①当为偶数时，，当为奇数时，；②【解析】

试题分析：（Ⅰ）由新定义知：前项之和为两等差数列之和，一个是首项为3，公差为8的等差数列前8项和，另一个是首项为17，公差为8的等差数列前7项和，所以前项之和（Ⅱ）①根据新定义知：证明目标为，，相减得，当为奇数时，依次构成首项为a，公差为2的等差数列,,当为偶数时，依次构成首项为2-a，公差为2的等差数列,②先求和：当为偶数时，；当为奇数时，故当时，，，，由，则，解得．试题解析：（Ⅰ）易得数列前项之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）