高二数学苏教版选修21讲义第1部分第1章11112充分条件和必要条件

1．1.2充分条件和必需条件充分条件和必需条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮．问题1：p与q有什么关系？提示：命题p建立，命题q必定建立．p：两三角形相像，q：对应角相等．问题2：p与q有什么关系？提示：命题p建立，命题q必定建立．一般地，假如p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必需条件．充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件．1．假如2．假如3．假如4．假如

p?q，且q?p，那么称p是q的充分必需条件．简称p是q的充要条件，记作p?q，且q?/p，那么称p是q的充分不用要条件．p?/q，且q?p，那么称p是q的必需不充分条件．p?/q，且q?/p，那么称p是q的既不充分又不用要条件．

p?q.原命题“若p，则q”，抗命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情况：原命题抗命题p、q的关系真假p是q的充分不用要条件q是p的必需不充分条件假真p是q的必需不充分条件q是p的充分不用要条件真真p与q互为充要条件假假p是q的既不充分也不用要条件q是p的既不充分也不用要条件[对应学生用书P6]充分条件和必需条件的判断[例1]对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以下结论正确的选项是________．①＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必需条件；④＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．[思路点拨

]

逐个分析

，依据二次函数与

的关系，判断结论能否正确．[精解详析

]①是正确的，由于＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；②是正确的，由于＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，可是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能>0；③是错误的，由于函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有＝b2－4ac>0，也有可能

＝0；④是正确的，由于

＝b2－4ac<0?

方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根

?

函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[答案]①②④[一点通]充分、必需条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转变成它的等价命题判断．1．从“?”、“/?”与“?”中选出合适的符号填空：(1)x>1________x>0；(2)a>b________a2>b2；(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；(4)A??________A＝?.分析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1?x>0；(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b?/a2>b2；(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab，则a＝b”为真命题，且抗命题也为真命题，故a2＋b2＝2ab?a＝b；(4)由于命题“若A??，则A＝?”为真命题，且抗命题也为真命题，故A???A＝?.答案：(1)?(2)?/(3)?(4)?2．(福建高考改编)已知会合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件．分析：由于A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?B?/a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分不用要条件．答案：充分不用要3．指出以下各题中p是q的什么条件(在“充分不用要条件”“必需不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不用要条件”中选一个作答)：(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相像，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?/x－3＝0，故p是q的充分不用要条件．(2)两个三角形相像/?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相像，故p是q的必需不充分条件．(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件．(4)a>b?/ac>bc，且ac>bc?/a>b，故p是q的既不充分又不用要条件.充分条件、必需条件的应用[例2]已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不用要条件，务实数a的取值范围．[思路点拨]先利用不等式的解法确立数题p、q建立的条件，再依据p是q的充分不用要条件确立a的不等式组，求得a的范围．[精解详析]令M＝{x|2x2－3x－2≥0}{x|(2x＋1)(x－2)≥0}{x|x≤－12或x≥2}，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}{x|x≤a－2或x≥a}．由已知p?q且q?/p，得MN.a－2≥－1，a－2>－1，∴2或2a<2，a≤2?3≤a<2或3<a≤2223?≤a≤2.即所求a的取值范围是[3，2]．2[一点通]依据充分条件或必需条件求参数范围：(1)记会合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)若p是q的充分不用要条件，则MN，若p是q的必需不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；(3)依据会合的关系列不等式(组)；(4)求参数范围．4．已知p：对于x的不等式3－m3＋m，q：x(x－3)<0，若p是q的充分不用要条件，务实数m的2<x<2取值范围．3－m3＋m，解：记A＝x2<x<2B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，若p是q的充分不用要条件，则AB.注意到B＝{x|0<x<3}≠?，分两种状况谈论：(1)若A＝?，即3－m≥3＋m，求得m≤0，此时AB，符合题意；22(2)若A≠?，即3－m<3＋m，求得m>0，223－m>0，2要使AB，应有3＋m<3，解得0<m<3.2m>0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．5．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不用要条件，求m的值．解：由题意得p：A＝{x|x＝－3或x＝2}，当m＝0时，p＝B＝?，1当m≠0时，P：B＝x|x＝－m.∵q是p的充分不用要条件，∴BA.易知m＝0合适题意．当－1＝－3或－1＝2，即m＝1或m＝－1时，也合适题意．mm32m的值为－1或1或0.23求充要条件[例3]已知数列{an}的前[思路点拨]依据数列的前

项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件．n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，依据数列{an}为等比数列，研究q所满足的条件，同时要注意充分性的证明．[精解详析]a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，pnp－1∵p≠0，p≠1，∴pn－1p－1＝p.若{an}为等比数列，则a2＝an＋1＝p，a1anpp－1＝p，p＋q∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.∴{an}为等比数列的必需条件是q＝－1.下边证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)，∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，anp－1pn－1an－1＝p－1pn－2＝p为常数，∴q＝－1时，数列{an}为等比数列．即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.[一点通]求充要条件一般有两种方法：等价转变法．将原命题进行等价变形或转变，直至获取其建立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，由于求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必需性分开来证．非等价转变法．先找寻必需条件，马上求充要条件的对象视为结论，找寻使之建立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必需性双方面说明．6．使函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不用要条件为________．分析：由函数f(x)＝|x－a|的图像知，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a≤1，所以使“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不用要条件即求使“a≤1”建立的充分不用要条件，即填写形如

a≤p，且

p<1即可，故答案不独一，可填

a≤0.答案：a≤07．设

n∈N*，一元二次方程

x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是

n＝________.分析：由于方程都是正整数解，由鉴别式程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解答案：3或4

“16－4n≥0”得“1≤n≤4”，逐个分析，当1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.

n＝1、2时，方1．对于充分条件、必需条件、充要条件以及既不充分又不用要条件的关系有以下四种情况：(1)若pq，则p是q的充分不用要条件；(2)若qp，则p是q的必需不充分条件；(3)若p＝q，则p是q的充分必需条件，既充要条件；(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分又不用要条件．2．依据充分条件、必需条件、充要条件的关系求参数的取值范围，常常运用等价转变的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决．[对应课时追踪训练(二)]1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．分析：由(2x－1)x＝0可得x＝1或x＝0，由于“x＝1或x＝0”是“x＝0”的必需不充分条件，所以“(2x22－1)x＝0”是“x＝0”的必需不充分条件．答案：必需不充分2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是分析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以答案：－13．对随意实数a，b，c，给出以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

a＝________.a＝－1.③“a<5”是“a<3”的必需条件；④“a＋5是无理数”是“

a是无理数”的充要条件．此中真命题的序号为

________．分析：①“a＝b”是

ac＝bc的充分不用要条件，故①错，②

a>b是

a2>b2的既不充分也不用要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．分析：由sinφ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，

故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不用要条件．答案：充分不用要5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不用要条件，则实数m的取值范围是________．分析：p：0<x<3，q：x<3＋m，2若p是q的充分不用要条件，则3＋m≥3，即m≥3.2答案：[3，＋∞)6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：(1)必需性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以＝b2－4ac>0，x1x2＝c<0(x1，x2a为方程的两根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得c<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0＝b2－4ac>0及x1x2＝a有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．2x－2y－3＝0，17，11解：由3x－5y＋1＝0，得交点P44.若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，则a×17－11＋b＝0.∴17a＋4b＝11.44设a，b满足17a＋4b＝11，则b＝11－17a，4代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋11－17a＝0，41117整理，得y－4－ax－4＝0.∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点17，11，此点即为l1与l2的交点．44综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝