高中数学函数的极值与最值

高中数学函数的极值与最值第一页，共二十二页，2022年，8月28日一、函数的极值1.定义如果存在的一个去心邻域,对于该去心邻域内的任一点都有成立,则称是函数的极大值,称为函数的极大值点.(极小值)(极小值点)第二页，共二十二页，2022年，8月28日的极小值点:的极大值点:第三页，共二十二页，2022年，8月28日2.极值点的必要条件定理1若在处取得极值,且在处可导,则证不妨设是极大值.按定义,存在去心邻域使得对于任意都有即：对于任意都有又由费马引理得:第四页，共二十二页，2022年，8月28日定义若,则称是函数的驻点.注:由定理1得:若是函数的极值点,则或不存在.反之不然.反例:但不是的极值点.但不是的极值点.第五页，共二十二页，2022年，8月28日3.极值的判别法定理2(第一判别法)设在的一个去心邻域内可导,且在处连续.(1)若当由小到大经过时,的符号由正变负则是极大值.(2)若当由小到大经过时,的符号由负变正则是极小值.(3)若当由小到大经过时,的符号不改变则不是极值.第六页，共二十二页，2022年，8月28日()+-是极大值()-+是极小值第七页，共二十二页，2022年，8月28日()++不是极值()--不是极值第八页，共二十二页，2022年，8月28日例1求的极值.解(1)定义域:(2)令解得时,不存在第九页，共二十二页，2022年，8月28日(3)讨论单调性-不存在+0-不存在-极小值极大值非极值(4)极小值:极大值:第十页，共二十二页，2022年，8月28日说明如果由的表达式不易确定它在驻点附近的符号,那么,用极值的第一判别法就不好求极值了.但是,这时若函数在驻点处的二阶导数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值.定理3(第二判别法)设在处二阶可导,且则(1)当时,是极大值(2)当时,是极小值第十一页，共二十二页，2022年，8月28日证(1)按定义由函数极限的局部保号性得:就有.于是,从而从而(第一判别法)第十二页，共二十二页，2022年，8月28日(2)类似可证.例2求函数的极值.解是周期函数，只需考虑在区间上的情况.令解得极大值极小值第十三页，共二十二页，2022年，8月28日二、函数的最大值和最小值在实际中，经常遇到这样的问题：怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使生产的效益最高？利润最大？这类问题称为“最优化问题”在数学上，这类问题可归结为：求某个函数的最大值或最小值的问题（简称最值问题）这里，我们只研究一些较简单的最值问题。第十四页，共二十二页，2022年，8月28日1.设函数是闭区间上的连续函数,且在内只有有限个导数为0或不存在的点.求在闭区间上的最值.求法:(1)记为:(2)(3)第十五页，共二十二页，2022年，8月28日例3求函数在上的最大值和最小值。解记令解得计算第十六页，共二十二页，2022年，8月28日2.设函数在区间内可导且只有一个驻点又是的极值点，则当是极大值时，就是区间上的最大值。当是极小值时，就是区间上的最小值。（）（）第十七页，共二十二页，2022年，8月28日3.在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数确有最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果在定义区间内部只有一个驻点,那么,可以断定就是最大值(或最小值).(不必讨论是否为极值)例4设有一块边长为的正方形铁皮,从其各角截去同样的小正方形,作成一个无盖的方盒,问:截去多少才能使得作成的盒子容积最大?第十八页，共二十二页，2022年，8月28日解设截去的小正方形的边长为则作成盒子的容积()令解得第十九页，共二十二页，2022年，8月28日在内可导,且只有一个驻点又由实际问题知:在内必有最大值就是最大值点,最大值第二十页，共二十二页，2022年，8月28日小结