高中数学平面直角坐标系

高中数学平面直角坐标系第一页，共四十四页，2022年，8月28日【学习目标】1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标

系的作用．2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平

面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系

和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标

和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或

圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系

和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形

时选择适当坐标系的意义．第二页，共四十四页，2022年，8月28日5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬

度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位

置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方

法相比较，体会它们的区别．第三页，共四十四页，2022年，8月28日【学习计划】

内容学习重点建议学习时间平面直角坐标系坐标系的选择；坐标法；伸缩变换2课时极坐标系极坐标系；极坐标和直角坐标的互化2课时简单曲线的极坐标方程直线和圆的极坐标方程2课时球坐标系与柱坐标系简介两种坐标系的意义2课时第四页，共四十四页，2022年，8月28日【课标要求】1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用．2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．第一节平面直角坐标系【核心扫描】1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点．2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题．3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)第五页，共四十四页，2022年，8月28日1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数

对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建

立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关

系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐

标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问

题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问

题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．自学导引第六页，共四十四页，2022年，8月28日2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸

缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研

究几何变换．第七页，共四十四页，2022年，8月28日想一想如何理解点的坐标的伸缩变换？提示在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换．第八页，共四十四页，2022年，8月28日1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上

起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架

起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方

法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一

个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几

何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数

方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法

应用于几何学的研究．

建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问

题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．名师点睛第九页，共四十四页，2022年，8月28日2．解析法解题步骤第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题

中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变

换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解．(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区

别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变

换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方

程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．第十页，共四十四页，2022年，8月28日【思维导图】第十一页，共四十四页，2022年，8月28日题型一运用坐标法解决解析几何问题第十二页，共四十四页，2022年，8月28日第十三页，共四十四页，2022年，8月28日解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．【反思感悟】建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上;②对称中心一般放在原点;③对称轴一般作为坐标轴．第十四页，共四十四页，2022年，8月28日

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【变式1】解第十五页，共四十四页，2022年，8月28日

在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思维启迪]解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．题型二用坐标法解决平面几何问题【例2】第十六页，共四十四页，2022年，8月28日解

法一

坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，第十七页，共四十四页，2022年，8月28日第十八页，共四十四页，2022年，8月28日【反思感悟】本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．第十九页，共四十四页，2022年，8月28日

已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．【变式2】证明法一以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，第二十页，共四十四页，2022年，8月28日法二延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日题型三平面直角坐标系中的伸缩变换【例3】[思维启迪]解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日【变式3】第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日方法技巧——求解曲线的轨迹方程第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日第三十页，共四十四页，2022年，8月28日第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日[P3思考]我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？

答

直角坐标点的位置用有序数组来刻画．两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想．在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便．第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日[P4探究]你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？答

可以建立不同的直角坐标系(例如以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系)解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则．如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日[P8思考]

答

椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆．我们可以把圆作为椭圆的特例．第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日[课后习题解答]习题1.1

(第8页)1．解设两定点A、B，以线段AB的中点为原点，AB所

在直线为x轴建立直角坐标系，则A、B的坐标为(－3，0)、(3，0)．

设动点为P(x，y)，由已知得到|PA|2＋|PB|2＝26，

即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，整理得x2＋y2＝4.这就是点M的轨迹方程．这是以AB的中点为圆心，2

为半径的圆．第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日2．解以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为y轴建立平

面直角坐标系．则点A的坐标为(0，3)．设△ABC的外

心为P(x，y)，因为P是线段BC的垂直平分线上的点，

所以B、C的坐标分别为(x－2，0)，(x＋2，0)．

因为P也在线段AB的垂直平分线上，整理得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日3.证明

法一如图所示，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高，取边AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO

所在的直线为y轴建立直角坐标系．设A，B，C的坐标依次为(－a，0)，(b，0)，(0，c)，第四十页，共四十四页，2022年，8月28日由