高三数学立体几何的难点突破1球的体积表面积

高三数学立体几何的难点打破1球的体积表面积高三数学立体几何的难点打破1球的体积表面积高三数学立体几何的难点打破1球的体积表面积球的体积、表面积1.1球的体积【例1】两个半径为1的铁球，消融成一个大球，这个大球的半径为( )313A．2B.2C.2D.24【剖析】设大球半径为434πr，则πr＝2×，3332，应选C.∴r＝43【评注】球的体积公式为：V=3πr，设半径列方程求半径即可.【变式1】利用正方体的对角线长等于其外接球的直径求正方体的棱长（2020天津）已知一个正方体的所有极点在一个球面上.若球的体积为9,则正方体的棱长2为.1.3【剖析】设球半径为R，球的体积为4R39，32R=3，2又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，则棱长为3.【变式2】一个正方体削去一个角所获得的几何体的三视图以以下图(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．2.43π【剖析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，所求外接球的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝23(R为球的半径)，∴R＝3，∴球的体积V＝43πR3＝43π.【变式3】利用球截面圆圆心与球心连线与截面垂直的性质求球的半径用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()8πB.82π32πA.C．82πD.3333.B【剖析】S圆＝πr2＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为R＝r2＋d2＝2.4382π∴V＝3πR＝3，应选B.1.2球的表面积【例2】如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是．【剖析】该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s和半球的表面积s2，1s16221224s214122，故ss1s224.2【评注】由三视图求表面积与体积，重点是正确剖析原图形的几何特点.【变式1】（2020·陕西高考文科）某几何体的三视图以以下图,则其表面积为.1.3【剖析】综合三视图可知几何体是一个半径r=1的半个球体,其表面积=14r2r23.21.3正方体的外接球、内切球和棱切球【例3】有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各极点,则三个球面积之比为．【剖析】设正方体棱长为a,则有内切球半径R1a;2,则有R22棱切球其直径为正方体各面上的对角线长a;2外接球直径为正方体的对角线长,∴有R33a,222所以面积之比为12:2:31:2:3.【评注】正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，以以下图．设正方体的棱长为a，则内a213a.用结构法切球半径|OJ|＝r＝2；正方体的棱切球：|GO|＝R＝2a；正方体的外接球：则|AO|＝R′＝2易知：棱长为a的正周围体的外接球半径为6a.4【变式1】建立正方体求解三棱锥相关问题若正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.31:3.【剖析】设正三棱锥侧棱长为a，归入正方体中易知外接球半径为3aVa3，内切球球心将正三棱锥分红四个高为内切球半径的三棱2,体积6a31a2323331锥，则Vr32a,ra,R:r.632463【变式2】建立正方体利用等积法求点到面的距离已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．2.3【剖析】由已知条件可知，以，，为棱能够补充成球的内3PAPBPC接正方体，故而2222，由已知PA＝PB＝PC,获得PA＝PB＝PCPA＋PB＋PC＝(2R)＝2,V＝V1123，故而球心到截面33333P－ABCA－PBC△ABC△PBC,【变式3】建立正方体求解正周围体的外接球的体积已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积是________.33.【剖析】如图结构正方体ANDMFBEC，则∵三棱锥2ABCD的所有棱长都为2，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥ABCD的外接球半径：R=3.故所求4333.2232【变式4】经过等价转变求解正方体的内切球的截面圆面积如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的内切球，则平面ACD11111截球O的截面面积为()ππ63A.6B.3C.6πD.3π4.A【剖析】：依照正方体的几何特点知，平面ACD1是边长为2的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD1内切圆的半径是26×tan30°＝6，故所求的截面圆的面积是62ππ×6＝6.1.4长方体的外接球【例4】(2020辽宁)已知直三棱柱111的6个极点都在球的球面上．若＝3，＝4，⊥，ABC-ABCOABACABACAA1＝12，则球O的半径为．【剖析】∵AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝32＋42＋122＝2，＝13.RR2【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型能够使抽象问题详细化.【变式1】利用三棱两两垂直的周围体补成长方体求解在周围体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3,AD=2,AC=5，则该周围体外接球的表面积为．1.12【剖析】由球的对称性及AB,AC,AD两两垂直能够补形为长方体ABDCDCAB,长方体的对称中心即为球心,∴2RAB2AC2AD235423，∴S42312.【变式2】如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA,OB,OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面均分三棱锥的体积，截面面积依次为S1,S2,S3，则S1,S2,S3的大小关系为________________．2.S3S2S1【剖析】由题意OA,OB,OC两两垂直，可将其放置在OC以O为一极点的长方体中，设三边OA,OB,OC分别为abc，进而易得1ab21ba21ca2ABS1c2，S2c2，S3b2，F222C∴S12S221a2b2a2c21b2a2b2c21c2a2b2，又ab，444∴S2S20，即S1S2．同理，用平方后作差法可得E12BDOAS2S3．∴S3S2S1．【变式3】利用特其他四棱锥补成长方体求解已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形.若PA26,则△OAB的面积为33【剖析】∵点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，∴点P，A，B，C，D为球O内接长方体的极点，球心O为长方体对角线的中点.∴△的面积是该长方体对角面面积的1.OAB4∵AB23,PA26，∴PB6,∴SOAB=1236=33.4【变式4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5π∶6B．6π∶2C．π∶2D．5π∶124.B【剖析】将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，组成的长方体恰巧是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a，球的半径为R，则(2)2＝2＋2＋(2)2，即＝6.RaaaR2a14226a36∴V半球＝2×3πR3＝3π＝2πa3，V正方体＝a3.V半球∶V正方体＝6πa3∶a3＝6π∶2.2【变式5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解(2020·唐山统考)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个极点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )A．2B．1C.2D.225.C.【剖析】由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△的外接圆圆心N是的中点，同理△111的外心是11的中心．设正ABCBCABCMBC方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝x，MC1＝x，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴x2222＋x2＝1，即x＝2，则＝＝1，∴＝2×1＝2.2ABACS矩形ABB1A11.5正周围体的外接球和内切球【例5】正周围体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为．【剖析】设正周围体的棱长为1，外接球和内切球半径依次为R,r，由正周围体三个球心重合及其特点，则正周围体的高6Rr,其体积为V163333,4另一面V1r34,则内切球和外接球的半径比1：3，其和为正周围体的高6，343而与棱相切的球直径为对棱的距离2，则内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为2(61):2:(63)1:3:3.34434【变式1】利用正周围补成正方体求解体积正周围体ABCD的外接球的体积为43，则正周围体ABCD的体积是_____.1.8.【剖析】由于外接球的体积为434r343r3，故其内接正方体的棱长为2，33故正方体体积为8，正周围体的体积为1V正方体8.33【变式2】利用正周围体的高与外接球半径的关系求球的表面积正周围体的四个极点都在同一个球面上，且正周围体的高为4，则这个球的表面积是________．2.36π【剖析】正周围体的外接球半径R为其高的3，且正周围体的高为4，则R＝3，S＝4πR2＝436π.【变式2】利用正周围体补成正方体求解的球心角半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正周围体的极点，则A与B两点与球心连线的夹角余弦值为．2.1.【剖析】设正周围体棱长2a，将其归入正方体中,其正方体棱长a，所求角为对角面内两条3APB，AP=BP=323a22a2对角线的夹角为a,AB2a，由余弦定理cosAPB41.23a2324【变式3】利用正周围体补成正方体求异面直线所成的角如图，正周围体A-BCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于（）A．45°B．90°C．60°D．30°AEDAEBDFBFCC3.A【剖析】如图，将正周围体补形为正方体，答案就信口雌黄，应当选A.【变式4】利用长方体的性质确定折叠周围体的外接球球心(2020·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，获得周围体A-BCD，则周围体-的外接球的体积为________．ABCD224.【剖析】设与订交于，折起来后仍旧有＝＝＝，∴外接球的半径r＝3＋4＝ACBDOOAOBOCOD254π53125π2，进而体积V＝3×2＝6.【变式5】(2020·云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的极点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球的体积的比值为________．O9设等边三角形的边长为2a，则V12335．32【剖析】圆锥＝3·πa·3a＝3πa；222234π233323π39又R＝a＋(3a－R)，所以R＝3a，故V球＝3·3a＝27a，则其体积比为32.【变式6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，六棱柱的体积为9，底面周长为3，那么这个球的体积为．86.4【剖析】由于该六棱柱的极点都在同一个球面六棱柱的体积9，底面周长为3，由3893123，底面边长为1h6,h3，可获得正六棱柱的高为，注意球心的特别地点，则半8422224径r13则球体积为；21,23【变式7】利用球的截面性质求球的内接四棱锥的体积(2020届河北月考)已知矩形ABCD的极点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥O8ABCD的体积为．B7.3，【剖析】以以下图，OO垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O，连结OOB，则在RtOOB中，由OB4,OB23，可得＝OO＝2,VOABCD1SOO1623283.33【变式9】正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相

ODCOAB切（如