微积分的产生与发展

PAGE第=page5*2-19页共=numpages5*210页第=page5*210页共=numpages5*210页微积分的产生与发展微积分学是数学领域的一个重大分支，刺激微积分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾经进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线等等。近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪，这一时期自然科学、天文和力学等领域发生了许多重大事件。微积分的产生1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜；不久伽利略将他制造的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人目不暇接、惊奇不已的天文发现；1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律；1638年，伽利略《关于两门新科学的对话》出版。这一切，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点：确定非匀速物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。微积分的产生主要包括以下几个重大事件。1.1开普勒与旋转体体积德国天文学家、数学及开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲变形的面积及旋转体的体积。例如，他认为球的体积是无数个小圆锥的体积和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一，即。1.2卡瓦列里不可分量原理意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》（1635）中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”，并提出了“卡瓦列里原理”：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比。卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，后来还利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分的基本结果，使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。卡瓦列里考虑一平行四边形内线段的幂和与组成它的三角形内线段的幂和之间的关系。如图1，在平行四边形中，，其中任一平行于的截线被对角线分成两部分，。图1平行四边形先讨论一次幂和的关系。因，故（利用对称性），因此。按卡瓦列里的不可分量观点，应为的面积，则为平行四边形的面积。取正方形情形，就得到，亦即。接着考虑、和等。例如，有，利用对称性得：(1)另一方面，。但卡瓦列里在此前已经得到，因此，也就是说，，代入(1)式，得或取正方形情形就得到了，即卡瓦列里利用这方面的结果，计算出在单位区间上，曲线(为正整数)下的图形的面积，以及将这个图形绕轴旋转所得的旋转体体积。在卡瓦列里发表其不可分量著作以后的20年间，其他一些数学家也陆续推进了不可分量方法，并从不同角度得出这一基本公式。这些数学家包括托利拆里、罗伯瓦尔、费马、帕斯卡和沃里斯。1.3费马求极大值与极小值的方法笛卡尔圆法记载于他1637年发表的《几何学》中，就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法。按费马的方法，设函数在点处取极值，费马用代替原来的未知量，并使与“逼近”，即～，消去公共项后，用除两边，再令消失，即，由此方程求得的就是的极值点。例如，费马用他的方法来确定怎样把长度为的一个线段划分为两个线段和，使得它们的乘积最大（也就是作一个周长为的长方形，使其面积最大）。首先用代替，然后写出～，即～，消去相同项得～0，两边除以，得～0，令，得，即有。费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号（他写作）代替了增量。1.4牛顿对微积分的贡献牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时他认真研究了笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、更一般的方法。1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首次提出了流数的概念。1669年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》，在这篇论文中，牛顿假定一条曲线且在该曲线下的面积为，已知(2)其中为正整数或分数，他称的无限小增量为的瞬。1671年，牛顿关于微积分的第3本论著《流数术和无穷级数》写成（1736年出版）。在这部著作中，他恢复了在《流数短论》中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术所提出的中心问题是：已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）；已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（即积分法）。1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线求积论》（1704年发表），这是他最成熟的一部微积分论著。在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。”为此，他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比，例如，为了求得的流数，他设变为，则流量随着变为由此得到增量变化的最初比然后令“增量0消逝，它们的最后比就是”。这就是的流数与的流数之比。这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限。在这篇论文中，他还以清晰的形式叙述了微积分基本定理，并系统地引进了他所创造的独特的记法和概念。他称变量为流，称变量的变化率为流数，并用在字母上面加一点，记做“记标字母”来表示。1.5莱布尼茨的微积分1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号和。莱布尼茨假设横坐标的微分是任意的量，纵坐标的微分就定义为它与之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。若记次切距为，莱布尼茨就是用等式来定义微分。这个定义在逻辑上假定切线已先有定义，而莱布尼茨将切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线。由于缺乏极限概念，这个定义是不能令人满意的，莱布尼茨后来还努力要给出高阶微分的合适定义，但并不成功。《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：，，，，。莱布尼茨还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼茨法则”推广到了高阶情形这些都表明莱布尼茨非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。《新方法》还包含了微分法在求极大、极小值、求拐点以及光学等方面的广泛应用。2.微积分的发展微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。2.1积分技术与椭圆积分约翰·伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法。雅各布·伯努利在求双纽线（在极坐标下方程为）弧长时，得到弧长积分。在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分。欧拉在1744年处理弹性问题时也得到积分。所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，椭圆积分的一般形式是，（其中，是的有理函数，是一般的四次多项式）。2.2微积分向多元函数的推广1720年，尼古拉·伯努利证明了函数在一定条件下，对，求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有。1748年，欧拉用累次积分算出了表示一厚度为的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：，积分区域由椭圆围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。2.3无穷级数理论雅各布·伯努利在1689——1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布·伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数的和是无穷的证明。他首先指出了，故有。这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。除了调和级数，当时引起热烈辩论的另一类发散级数是。雅各布·伯努利在1696年的论文中作如下推理：。当时，得到。但另一方面，；。1703年，意大利数学家格兰弟通过的级数展开又重新发现这一悖论：在级数中，令，得，格兰弟称之为“无中生有”。这些发散级数悖