2022-2023学年湖南省湘潭市湘乡第八中学高一数学理测试题含解析

2022-2023学年湖南省湘潭市湘乡第八中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A故

2.已知集合A={x|y=}，A∩B=?，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．{（x，y）|y=x﹣1}C． D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出各项中的集合确定出B，根据A与B的交集为空集，判断即可得到结果．【解答】解：选项A中，由4x=22x＜2x+1，得到2x＜x+1，即x＜1，即B={x|x＜1}；选项B中，由B={（x，y）|y=x﹣1}，得到B为点集；选项C中，由y=sinx，﹣≤x≤，得到﹣≤y≤，即B={y|﹣≤y≤}；选项D中，由y=log2（﹣x2+2x+1），得到﹣x2+2x+1＞0，即x2﹣2x﹣1＜0，解得：1﹣＜x＜1+，即B={x|1﹣＜x＜1+}，由集合A中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴A={x|x≥1}，∵A∩B=?，∴B不可能为{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}，故选：D．3.已知正数x、y满足，则的最小值为（

）A.5 B. C. D.2参考答案：C分析：根据题意将已知条件等价转化为，故而可得，利用基本不等式即可得结果.详解：∵正数满足，∴，∴当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．4.参考答案：A5.函数f（x）=lnx+2x﹣7的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣7+2x，x∈（0，+∞）单调递增，f（1）=0﹣7+2=﹣5，f（2）=ln2﹣3＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，难度不大，属于中档题．6.函数f（x）=（）的值域是（）A．（0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，+∞）参考答案：A【考点】函数的值域．【分析】利用配方法求出指数的范围，再由指数函数的单调性求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，0＜（），∴函数f（x）=（）的值域是（0，]．故选：A．7.函数y=2－的值域是（

）A．[－2，2]

B．[1，2] C．[0，2]

D．[－，]参考答案：C略8.设数列的前n项和，则的值为（

） A．15 B．16 C．49 D．64参考答案：A略9.对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】本题可采用分类讨论，对答案进行排除，分别讨论直线l和平面α平行，直线l和平面α相交，直线l?平面α，三种情况，排除错误答案后，即可得到结论．【解答】解：若直线l和平面α平行，则平面α内的直线与l平行或异面，不可能相交，可排除答案A；若直线l和平面α相交，则平面α内的直线与l相交或异面，不可能平行，可排除答案B；若直线l?平面α，则平面α内的直线与l相交或平行，不可能异面，可排除答案D；故选C．10.已知α为常数，幂函数f（x）=xα满足，则f（3）=（）A．2 B． C． D．﹣2参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出f（x）=，由此能求出f（3）．【解答】解：∵α为常数，幂函数f（x）=xα满足，∴f（）==2，解得，∴f（x）=，∴f（3）==．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简2sin15°sin75°的值为． 参考答案：【考点】二倍角的正弦． 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求后，利用特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：2sin15°sin75° =2sin15°sin（90°﹣15°） =2sin15°cos15° =sin30° =． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 12.已知集合，集合.若令，那么从到的映射有

个.参考答案：2513.已知向量，则在方向上的投影等于_________．参考答案：14.圆与圆的位置关系是

.参考答案：略15.过点且被圆截得的弦长为8的直线方程为

参考答案：或16.已知，则sin2x=．参考答案：【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．17.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为

参考答案：36三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知ABCD，设，，N为平面ABCD内一点，且.（Ⅰ）用向量，表示；（Ⅱ）若，，，求.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可；（Ⅱ）根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）.（Ⅱ）.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质和定义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了平面向量基本定理的应用，考查了数学运算能力.19.已知向量，

且A为锐角（1）、求角A的大小

（2）、求函数

的值域参考答案：解析：（1）、由得

，又A为锐角，

（2）、由（1）知：

当时，有最大值

当时，有最小值。

的值域是20.(本小题满分8分)

在梯形中，，分别是的中点，设。（1）在图上作出向量（不要求写出作法）（2）请将用表示。参考答案：21.对于数列{an}，如果存在正整数k，使得an﹣k+an+k=2an，对于一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k﹣等差数列．（1）若数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{an}是3﹣等差数列，且an=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n；（3）若{an}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{an}是等差数列．参考答案：考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由an=﹣n+sinωn，且{an}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．解答： （1）解：由数列{an}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{an}是3﹣等差数列，an+3+an﹣3=2an，∵an=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此时an=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）证明：若{an}为2﹣等差数列，即an+2+an﹣2=2an，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{an}为3﹣等差数列，即an+3+an﹣3=2an，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：an=a1+（n﹣1）d，∴{an}为等差数列．点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．22.（本题16分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值。（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由

参考答案：解析：(1)由已知得=4,∴b=4.

………………3分

(2)∵c∈[1,4],∴∈[1,2],于是,当x=时,函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)－f(2)=,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

………………8分