2022年江苏省常州市宜兴夏芳中学高三数学理模拟试题含解析

2022年江苏省常州市宜兴夏芳中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题p：?n∈N，3n≥n2+1，则￢p为（）A．?n∈N，3n＜n2+1 B．C．?n∈N，3n≤n2+1 D．参考答案：B【考点】全称命题．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：∵命题p：?n∈N，3n≥n2+1，∴命题￢p为，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，掌握全称命题否定的定义，是解答的关键．2.已知函数，则方程的根的个数为

A.

B.

C.

D.参考答案：C

3.函数的图像关于点中心对称，则的最小值A. B. C. D.参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】A

∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点(，0)中心对称．

∴2?+φ=kπ+∴φ=kπ-(k∈Z)由此易得|φ|min=．故选A【思路点拨】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点(，0)中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．4.已知且C，则（i为虚数单位）的最小值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：5.函数的单调增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（

）参考答案：B试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.7.已知函数的图象如图所示，若的值为A. B.C. D.参考答案：D8.设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=2x﹣y化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域：将z=2x﹣y化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，由可解得，A（5，2），则过点A（5，2）时，z=2x﹣y有最大值10﹣2=8．故选B．9.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则被抽到的各职称人数分别为（

）A．5，10，15

B．3，10，17C．3，9，18

D．5,

9,

16参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是

.参考答案：略12.（5分）设a，b为正实数，则的最小值为．参考答案：2﹣2【考点】：基本不等式．【专题】：不等式．【分析】：把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值解：==1﹣=1﹣，∵a，b为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣2【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．13.若集合，，则

参考答案：14.函数在处的切线方程为_______．参考答案：【分析】求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，则，则，所以在点处的切线方程为，即.15.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

．参考答案：16.设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为

．参考答案：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由已知中=（，sina），=（cosa，），，我们易构造一个三角方程，解方程即可求出锐角a的大小．【解答】解：∵=（，sina），=（cosa，），又∵，∴sina?cosa﹣?=0即sina?cosa=即sin2a=1又∵α为锐角故α=故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行的充要条件，构造三角方程，是解答本题的关键．17.已知函数y＝在区间上为减函数,则的取值范围是_____,参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，由此，可求直线l1的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2：+y2=1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，α+θ=+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=，sinα=cosθ=，A（，），∴直线l1的普通方程为y=x．【点评】本题考查求直线l1的普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．19.（本小题满分14分）直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1

,=(Ⅰ)证明;[(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积.参考答案：略20.如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．参考答案：（I），，…（2分）又，，，…………（4分），

…………（5分）（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）21.已知是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的，是和的等比中项．，．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求数列的通项公式．参考答案：（1）证明见解析；（2）．

试题解析：（1）证明：∵，∴（常数），∴数列是等差数列．（2）解：，则，∴，，，解得，∴．考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式．【名师点睛】等差数列的判断方法．在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的，证明为同一常数；（2）等差中项法，证明（）；在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证（为常数）对任意的正整数成立；（4）前项和公式法：证（是常数）对任意的正整数成立．22.已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点且与椭圆C相交于A，B两点.过点A作直线的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案：（1）；（2）见解析.【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点．【详解】（1）解：由题意可得,

解得，所以椭圆C的方程为．（2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）．（b）当