工程力学24章 (2)课件

第24章压杆稳定学习要求：掌握细长压杆临界压力的欧拉公式和压杆的稳定性计算；了解压杆稳定的概念，临界应力与欧拉公式的应用范围；了解提高压杆稳定性的措施。24.1

压杆稳定的概念稳定平衡：轴向受压细长杆，当压力F小于某一数值时，在一个微小横向力的作用下，压杆偏离其原来的直线平衡位置而产生了微弯；当去掉该横向力时，压杆恢复到原来的直线平衡状态，则称这种压杆原来的平衡为稳定平衡。一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡不稳定平衡：轴向受压细长杆，当压力F超过某一数值后，压杆仍保持直线平衡，但在一微小横向力的作用下，压杆偏离其原来直线平衡位置而产生微弯，去掉横向力后压杆不能恢复到原来的直线平衡，而是在弯曲状态下达到新的弯曲平衡，则称这种压杆原来的平衡为不稳定平衡。二、失稳和临界载荷的概念失稳：压杆由稳定的直线平衡形式到不稳定的直线平衡形式的转变称为失稳。临界载荷：压杆处于稳定的直线平衡与不稳定的直线平衡的临界状态时的载荷称为临界载荷。24.2

细长压杆临界压力欧拉公式1.两端饺支细长压杆的临界压力微弯方程通解由题意取n=1临界压力是使压杆失稳的最小压力，故Fcr应该取最小值两端铰支细长压杆的临界压力计算公式或称为欧拉公式注意：在上述公式中，压杆的横截面惯性矩I应取最小值即Imin。因为压杆失稳时总是在抗弯能力最小的纵向平面内发生弯曲。2.其他支承条件下细长压杆的临界压力一端固定一端自由两端饺支一端饺支一端固定两端固定临界压力统一公式μ称为压杆的长度因数；μl称为压杆的相当长度2.欧拉公式的应用范围

欧拉公式是由弯曲变形的挠曲线近似微分方程推导出来的，而此微分方程是以胡克定律为基础的，因此只有当材料的临界应力σcr不超过其比例极限σp

时，欧拉公式才可以使用，即临界应力应满足：λp是压杆能否采用欧拉公式的最小柔度值柔度的压杆称为大柔度杆或细长杆。常见材料如Q235钢、优质碳钢:λp=100；铸铁:

λp=80。故，对于任何材料，细长杆的临界应力均采用欧拉公式进行计算。

当

时，临界应力，此时欧拉公式已不再适用。对于这类压杆，常常采用以实验结果为依据的经验公式。常见的经验公式有直线公式和抛物线公式两种。a、b是与材料力学性能有关的常数,

MPa。常见材料的a、b值见表24-23.中小柔度杆的临界应力1）直线公式直线公式也有适用范围：材料的临界应力σcr不超过其屈服极限σs或强度极限σb

，则有：λs是压杆能否采用直线公式的最小柔度值由此可知，柔度可将压杆分为3类：①的压杆为细长杆，其临界应力

，临界应力可用欧拉公式来计算；②的压杆为中长杆，其临界应力

,临界应力可用直线公式来计算；③

的压杆为粗短杆，其临界应力

，临界应力可按强度问题来计算。将临界应力与柔度之间的关系用曲线绘制在λ—σcr坐标中得到的曲线图称为压杆的临界应力总图。抛物线公式的临界应力总图直线公式的临界应力总图注意：压杆是按直线公式分类的，故一般使用直线公式计算压杆的临界应力；而抛物线公式只在题目要求时才使用。例1：图示两端饺支压杆，横截面直径d=50mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200GPa，λp=100。试确定此压杆的临界应力。解：计算柔度，确定临界应力计算公式。此压杆属于细长杆，采用欧拉公式计算临界应力

例2：图示压杆，直径均为d=160mm，材料都是Q235钢，E=206GPa，λc=123。试计算二杆的临界压力。解：计算柔度，确定临界应力计算公式。a图是细长杆，可采用欧拉公式b图是非细长杆，采用经验公式24.4

压杆的稳定性计算压杆稳定性计算主要有两种方法：安全因数法和折减系数法。安全系数法多用于稳定性校核和确定许可载荷，折减系数法多用于截面设计。一.安全因数法稳定安全因数二.折减系数法ϕ为稳定系数或折减系数强度设计的许用应力

对于钢类材料，其稳定系数ϕ与柔度λ之间的关系可以查相关的表。对于木材的稳定系数ϕ值，按照树种的强度等级有以下两组计算公式：

安全因数法解题步骤：1）计算压杆最大柔度；2）选择对应的临界应力公式计算σcr；3）计算临界压力Fcr；4）进行稳定性计算。1）树种等级为TC17（柏木、东北落叶等）；TC15（红杉、云杉等）；TB20（栎木、桐木等）时，有：2）树种等级为TC13（红松、马尾松等）；TC11（西北云杉和冷杉等）；TB17（水曲柳等）；TB15（栲木和桦木等）时，有：AB杆为非细长杆，采用经验公式故斜杆AB

杆满足稳定性要求。

例2：如图所示承载结构，BD为正方形截面的东北落叶松木杆，已知l=2m，a=0.1m，许用应力[σ]=10MPa。试从BD杆的稳定性考虑，计算该结构所能承受的最大载荷Fmax。解：列平衡方程求BD杆的轴力计算BD杆柔度2）减小压杆的长度因数，可以增强支承的刚性3）合理选择压杆截面形状，可以增大其惯性矩当压杆的约束条件相同时，压杆将在其刚度最小的平面内弯曲。此时要提高压杆的承载能力，最好的办法是采用空心截面，不仅提高整个截面惯性矩，并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。因此，约束条件相同、横截面面积一定的截面，正方形或圆形比矩形好，空心比实心好。4）合理选用材料以增大弹性模量E

在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。例1：两根细长压杆的长度、

横截面面积、

约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和实心圆形，则二压杆的临界压力Fcr正和Fcr圆的关系为（）。A.Fcr正=Fcr圆；B.Fcr正＜Fcr圆；C.Fcr正＞Fcr圆；D.不确定C例2：材料和柔度都相同的两根压杆（）。A.临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C.临界应力和压力都一定相等；D.临界应力和压力都不一定相等。A例3：图示两端铰支压杆，当其失稳时（）。A.临界压力Fcr＝π2EIy

/L2，挠曲线位于xy面内；B.临界压力Fcr＝π2EIy

/L2，挠曲线位于xz面内；C.临界压力Fcr＝π2EIz

/L2，挠曲线位于xy面内；D.临界压力Fcr＝π2EIz

/L2，挠曲线位于xz面内。B例4：下列有关压杆临界应力σcr

的结论中（

）是正确的。细长杆的σcr

值与杆的材料无关；中长杆的σcr

值与杆的柔度无关；中长杆的σcr

值与杆的材料无关；粗短杆的σcr

值与杆的柔度无关。D例5：将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（）压杆的承压能力。A.细长；B.中长；C.短粗；D.非短粗A例6：图示各杆横截面