初中数学几何变换几何综合题（含答案）

第1页（共1页）几何综合题14道组卷一．解答题（共14小题）1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DC所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为；∠DFE度数为；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝°；②请直接写出点D到PC的距离为．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为；②线段AE，CD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．13．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？14．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点D，点E分别是AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接AD′，BE′．（1）如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；（2）如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．

2019年04月01日几何变换几何综合题14道组卷参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．【解答】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案为CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴＝＝，∴△CAF∽△DAG，∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴点E的运动轨迹是在射线OE时，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为，故答案为，2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：AD＝BE．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．【解答】解：（1）如图1，∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE．（2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CAD；如图2，设BE与AC交于Q，又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．（3）由（2）同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°；如图3，在PE上截取PH＝PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，∴HC＝PC，∠CHP＝60°，∴∠CHE＝120°；又∵∠APE＝∠CPE＝60°，∴∠CPA＝120°，∴∠CPA＝∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP＝EH，∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4，则PA+PB+PC＝2．理由：如图，过D作DG⊥AB，交AB的延长线于G，当∠ABC＝60°＝∠CBD时，将DBG＝60°，∴∠BDG＝30°，∴BG＝BD＝2，AG＝6+2＝8，DG＝2，∴Rt△ADG中，AD＝＝2，∴BE＝2，即PA+PB+PC的值为2．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为BE＝AD；∠DFE度数为60°；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是45°；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△ECD是等边△，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴△ACD是△BCE顺时针旋转60°来的，∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠DFE＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEF＝∠ACB＝60°；故答案为BE＝AD，∠DFE＝60°；（2）连接EM，则△CEM是等腰直角三角形，∴CE＝CM，∵∠ACB＝45°＝∠ECM，∴∠BCE＝∠ACM，∵BC＝AC，∴＝＝，∴△BCE∽△ACM，∴＝＝，∠CBE＝∠CAM，∵∠BFM＝∠BAF+∠ABF＝∠BAC+∠CAM+∠ABF＝90°+∠CBE+∠ABF＝90°+∠ABC＝135°，∴∠MFE＝45°；故答案为，45°；（3）取BC中点F，取CD中点M，连接MN，AF，NF，EM，∴NF，NM是△BCD的中位线，∴NF＝CD＝EM，NM＝BC＝AF，∵NF∥CD，NM∥BC，∴四边形NFCM是平行四边形，∴∠NFC＝∠NMC，∵∠AFC＝90°＝∠EMC，∴∠AFN＝∠EMN，∵在△AFN和△NME中，，∴△AFN≌△NME，（SAS）∴AN＝EN，∠NAF＝∠ENM，∵MN∥BC，AF⊥BC，∴MN⊥AF，∴∠NAF+∠ANM＝90°，∴∠ENM+∠ANM＝90°，即∠ANE＝90°，∴AN⊥EN．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．【解答】解：（1）AD＝BE，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD；（2）不变，∠AMB＝60°，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BEC≌△ADC，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠EBC+∠ABM＝60°∴∠MAC+∠ABM＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝60°．（3）如图3，∵当B、C、D三点在同一条直线上，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°，∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，且BC＝CD，∴BC＝CE，∴∠CBE＝∠BEC＝30°，∵∠BCF＝60°，∴∠BFC＝90°，∵BC＝EC，∴BE＝2BF，在Rt△BFC中，∠BCF＝30°，∴BF＝BC，∴BE＝2BF＝BC，∵BE＝BM+ME，∴BM+ME＝BC．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．【解答】解：（1）猜想：AD＝BE，证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD∠BCD，即∠ACD＝BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如下图1所示，当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，此时，DE边上的高为∴△BDE面积最大值为．（3）①如图3，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°∴，则又∵∠DCE+∠BCD'＝∠D'CE'+∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'∴△ACD'∽△BCE'∴由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF∴∠BFA＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠ABC+∠FAC）＝180°﹣120°＝60°②如图4所示，当D'与点O重合时，△AOC的面积最大过点O作OG⊥AC于G，∴∴△AOC的面积的最大值为．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为120°；②线段AE、BD之间的数量关系为AE＝BD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝45°；②请直接写出点D到PC的距离为或．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECA＝60°﹣∠ACD，∠DCB＝60°﹣∠ACD，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝∠CED+∠CDE＝60°+60°＝120°，故答案为：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案为：AE＝BD；（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴∠ECA＝90°﹣∠ACD，∠DCB＝90°﹣∠ACD，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝135°，BD＝AE，∴∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝135°﹣45°＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM＝MD，∵BM＝BD+DM，∴BM＝AE+CM；（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，∴∠APC+∠ADC＝90°+90°＝180°，∴A，P，C，D四点共圆，∴∠DPC＝∠DAC＝45°，故答案为：45；②过点D作DM⊥PC，垂足为M，∵在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，∴AC＝2，PC＝＝＝，∵∠DPC＝45°，∴DM＝PM，设DM＝PM＝x，则MC＝﹣x，在Rt△DMC中，DM2+MC2＝DC2，则x2+（﹣x）2＝22，整理得：2x2﹣2x+3＝0，解得；x1＝，x2＝，即点D到PC的距离为：或．故答案为：或．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为AE＝BD，AE、BD所在直线的位置关系为AE⊥BD；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为或7﹣3．【解答】解：（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠CBD＝90°∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD．故答案为AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AD＝2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝AE＝7，∴BE＝7，∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，综上所述，BD的长为或7﹣3．故答案为或7﹣3．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝120°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案为：120．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：则△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的长为13．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为60°；②线段AE，CD之间的数量关系为AE＝CD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DBE均为等边三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠BEA．∵△DBE为等边三角形，∴∠CDB＝∠BED＝60°．故答案为：60°．②∵△BCD≌△BAE，∴CD＝AE，故答案为：CD＝AE，（2））∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF理由：∵△ACB和△DBE均为等腰直角三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠AEB，CD＝AE∵BF是△DBE均为等腰直角三角形，∴∠CDB＝∠AEB＝45，DE＝2BF，∴CD＝AE＝AD+DE＝AD+2BF．∴∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF；（3）①如图，连接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴CD＝2，∴AC＝2，∵AE＝1，∴CE＝，∵A，E，B，C四点共圆，∴∠BCE＝∠CAB＝45°，∴△PBE是等腰直角三角形，∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共线，BH⊥CE，∴由（2）的结论可得，CE＝AE+2BH，∴＝2BH+1，∴BH＝．②同①的方法可得，CE＝2BH﹣AE，∴＝2BH﹣1，∴BH＝，∴点B到CE的距离为或．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC＝CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC＝CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD+CD，∴AC＝CD+CE；故答案为：AC＝CD+CE；（2）∠ACE＝45°，AC＝CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∵BC＝CD+BD，∴BC＝CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC＝AC，∴AC＝CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，∴BD＝2，BC＝，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC＝BC+CD，∴AC＝＝＝．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE；（2）①∠AEB＝90°证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°；②延长BE交AC的延长线于点G，由①可知∠CAD＝∠CBE，∠AEB＝90°，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG，∴AF＝BG，∵∠CAF＝∠BAF，∠AEB＝90°，∴E是BG的中点，∵BE＝2，∴BG＝4，∴AF＝4，∴S△ABF＝＝4．12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°．∴BD＝2．∵DP＝1，∴BP＝．∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．∴＝2AH+1．∴AH＝．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得