2023年福建省龙岩高中数学高一下期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是圆的一条弦，，则()A． B． C． D．与圆的半径有关2．已知，则的最小值是（）A．2 B．6 C．2 D．23．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．44．用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，若，则的所有可能值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．6．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A． B． C． D．7．已知等差数列中，若，则取最小值时的（）A．9 B．8 C．7 D．68．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝sin（x）﹣1 B．f（x）＝2sin（x）﹣1C．f（x）＝2sin（x）﹣1 D．f（x）＝2sin（2x）+19．设，，在，，…，中，正数的个数是（）A．15 B．16 C．18 D．2010．已知三棱锥，若平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的值为___________．12．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.13．已知向量，则___________.14．函数的零点个数为__________．15．在数列中，，，则__________．16．向量．若向量，则实数的值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：单价（元）销量（件）且，，（1）已知与具有线性相关关系，求出关于回归直线方程；（2）解释回归直线方程中的含义并预测当单价为元时其销量为多少？18．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.19．设递增数列共有项，定义集合，将集合中的数按从小到大排列得到数列；（1）若数列共有4项，分别为，，，，写出数列的各项的值；（2）设是公比为2的等比数列，且，若数列的所有项的和为4088，求和的值；（3）若，求证：为等差数列的充要条件是数列恰有7项；20．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40"m,则电视塔的高度为多少？21．已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解.【详解】是圆的一条弦,易知在方向上的投影恰好为，所以=||||==2.故选C.【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.2、B【解析】试题分析：因为,故.考点：基本不等式的运用，考查学生的基本运算能力．3、B【解析】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B．考点：基本不等式.4、C【解析】

数列取倒数，利用累加法得到通项公式，再判断的所有可能值.【详解】两边取倒数：利用累加法：为递增数列.计算：，整数部分为0，整数部分为1，整数部分为2的所有可能值的个数为0,1,2答案选C【点睛】本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力.5、A【解析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.6、B【解析】

利用古典概型概率公式求解即可.【详解】设三件正品分别记为，一件次品记为则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种所以产品全是正品的概率故选：B【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.7、C【解析】

是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。【详解】由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.故选：C【点睛】本题考查等差数列前n项和，是基础题。8、D【解析】

由已知列式求得的值，再由周期求得的值，利用五点作图的第二个点求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据三角函数的图象，可得，解得，又由，解得，则，又由五点作图的第二个点可得：，解得，所以函数的解析式为，故选D.【点睛】本题主要考查了由的部分图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9、D【解析】

根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析的正负，再由的正负即可确定出，，…，中正数的个数.【详解】当时，，当时，，因为，所以，因为，，所以取等号时，所以均为正，又因为，所以均为正，所以正数的个数是：.故选：D.【点睛】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.10、B【解析】

根据题意画出三棱锥的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可.【详解】根据题意画出三棱锥如图所示，把三棱锥放入一个长方体中，三棱锥的外接球即这个长方体的外接球，长方体的外接球半径等于体对角线的一半，所以三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球的表面积.故选：B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

=12、【解析】

本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；【详解】解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．13、【解析】

根据向量夹角公式可求出结果.【详解】．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．14、3【解析】

运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得，所以令，求零点的个数转化求方程根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出和的图象，观察两支图象的交点的个数为个，注意在做的图像时当时，,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.15、16【解析】

依次代入即可求得结果.【详解】令，则；令，则；令，则；令，则本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的递推公式求解数列中的项，属于基础题.16、-3【解析】

试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)销量为件.【解析】

（1）利用最小二乘法的公式求得与的值，即可求出线性回归方程；（2）的含义是单价每增加1元，该产品的销量将减少7件；在（1）中求得的回归方程中，取求得值，即可得到单价为12元时的销量．【详解】（1）由题意得：，，，，关于回归直线方程为；（2）的含义是单价每增加元，该产品的销量将减少件；当时，，即当单价为元时预测其销量为件.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法—最小二乘法，以及利用线性回归方程进行预测估计。18、（1）；（2）函数的最大值为，最小值为.【解析】

用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式对函数的解析式进行化简，然后利用正弦型函数的单调性求解即可.【详解】.（1）当时，函数递增，解得，所以函数的单调递增区间为；（2）因为，所以，因此所以函数的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性和最值，考查了辅助角公式、二倍角的正弦公式、降幂公式，考查了数学运算能力.19、（1），，，，；（2），；（3）证明见解析；【解析】

(1)根据题意从小到大计算中的值即可.(2)易得数列的所有项的和等于中的每个项重复加了次,再根据等比数列求和即可.(3)分别证明当时,若为等差数列则数列恰有7项以及当数列恰有7项证明为等差数列即可.【详解】(1)易得当,,,时,,,,,.(2)若是公比为2的等比数列,且,则数列的所有项的和等于中每一项重复加了次,故.即,又,故,易得随着的增大而增大.当时,当时,当时,故,此时.(3)证明：先证明充分性：若,且为等差数列,不妨设,则数列也为等差数列为的等差数列.且最小值为,最大值为.故数列恰有7项.再证明必要性：若数列恰有7项.则因为.故的7项分别为.又,可得,即.同理有,故为等差数列.综上可知,若,则为等差数列的充要条件是数列恰有7项【点睛】本题主要考查了数列综合运用,需要根据题意分析与的关系,将中的通项用中的项表达,再计算即可.同时也考查了推理证明的能力.属于难题.20、40m．【解析】试题分析：本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，即∠ADB=30°，∠ACB=45°，所以，可以得出在Rt△ABD中，BD=AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，代入数据，运算即可得出结果．试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°整理得AB2-20AB-800=0，解得，AB=40或AB=-20（舍）．即电视塔的高度为40m考点：解三角形．21、（1）①当时，不等式的解集为；②当时，由，则不等式的解集为；③当时，由，则不等式的解集为；（2）【解析】

（1）不等式，可化为，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化为，根据1和4是方程的两根，利用韦达定理列方程求解即可.【详解】（1）不等式，可化为