高中数学 数列 4.1数列的概念第2课时

4.1数列的概念铜陵市第三中学谢香群一、单元内容与内容解析1．内容本单元介绍了数列的概念.由于数列是一种特殊的函数，所以本单元内容与函数的概念的研究内容类似，包括数列的定义和表示方法等，以及数列所特有的递推公式和前n项和公式的定义.内容结构如下：推出推出数列概念数列是一种特殊的函数表示列表图象通项公式递推公式前n项和公式2．内容解析：内容的本质：数列是刻画“离散”过程的重要数学模型，而许多连续性的结果可以用离散性的结果来近似刻画，因此数列有广泛的应用.在实际生活中，农作物的产量、收入的增长等都是按一定时间顺序来统计的，这就得到了有先后顺序的一列数——数列.如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数.数列的通项公式就是数列作为函数的函数解析式.蕴含的思想方法：杜威提出，教学必须从学习者已有的经验开始.在对数列这一概念的内涵进行分析时，教师紧扣“数列是一种特殊的函数”，这一观点.从学生已有的经验“函数”出发，类比函数的研究方法来研究数列，从而加深学生对数列概念的理解，也提升了学生运用函数思想和类比学习的应用能力.另一方面，通过实例抽象出数列概念以及对通项公式，递推公式和前n项和公式的应用过程中，培养了学生抽象概括与数学运算的核心素养.知识的上下位关系：数列的概念、通项公式及数列的前n项和与通项的关系在学习过程中起着承上启下的作用.一方面，在数列的概念的归纳提炼及具体问题的解决过程中常会用到函数思想，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是学习本章的后继内容——等差数列、等比数列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以使学生强化运算能力，提升分析归纳能力.育人价值：本节课内容的学习可以让学生体会数学来源于生活，帮助学生从生活中抽象出数学知识的能力.同时也重在引导学生如何用数学的眼光去看待实际问题的素养，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值.教学重点：数列的有关概念及表示方法，数列的递推公式及数列的前n项和公式.二、单元目标和目标解析1．目标（1）通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.会用通项公式写出数列的任意一项.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式；（2）了解数列递推公式的定义，感悟数列递推公式引入的必要性，体会一个数列递推公式与通项公式的区别与联系.通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力.了解数列前n项和公式的定义，掌握通项公式与前n项和公式的关系，能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式；（3）经历“事实——概念”的概念形成过程，提升数学抽象素养.明确研究一个数学对象的基本路径，类比函数，在数列的学习中经历“定义——表示方法——性质”的研究过程，感受类比迁移、从特殊到一般等数学思想方法.体会数学的应用价值，提高数学学习的兴趣.2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法.（2）能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.（3）能通过具体问题在“难以发现数列的通项公式”的情况下，换个角度思考问题，得到数列的递推公式表示的意义和价值，并能用递推公式解决相关问题.（4）能根据实际问题的需要认识数列前n项和公式的概念，由问题情境推导出前n项和与通项公式之间的关系，并能利用这种关系在已知前n项和公式的前提下求出数列的通项公式.三、教学问题诊断分析在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数.但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本节教学的第一个难点．教学时可通过章引言的教学，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣.对数列概念的理解，是本节课第二个教学难点.学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解.本节课通过具体实例抽象出数列定义，并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用数学的眼光看世界的很好的案例.经历这样一个数学化的过程，对于学生数学观念的形成有着重要的意义.此外，在把实际问题转化为数列问题，尤其是涉及年份等时间顺序时，学生在用数列进行表达时容易犯错误.在对用数列解决实际问题的教学中，要注意引导学生正确地构建数列，刻画实际问题中的等差关系、等比关系、递推关系等.在新课程改革中，新普通高中课程标准对“数列一章”的教学要求是：通过对数列概念以及与关系的探索，掌握数列基本概念，理解数列是一种特殊的函数，并能解决一些简单的求值问题.因此，本节课教学难点为数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是认识数列的概念并理解数列是一种特殊的函数，掌握数列的三种表示方法.同时涉及到一些数值的计算，图象的应用及分析所得的信息，因此可以借助电子表格和画图软件在认识数列问题中，使学生加强直观感知，从数、形、式上多元化认识数列.课时教学设计第二课时（一）教学内容本节课主要学习数列的递推公式与前n项和公式、数列的前n项和与通项的关系.（二）教学目标1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.2.理解数列的前n项和公式的定义，会利用前n项和公式与通项公式的关系求通项公式.（三）教学重点、难点重点：数列的递推公式、前n项和公式，数列的前n项和与通项的关系.难点：用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.教学过程设计1.复习旧知表示表示数列概念数列是一种特殊的函数列表图象通项公式帮助学生复习回顾上节课学习的主要内容，为这节课的学习做好铺垫.问题1：如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？师生活动：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或.教师提醒学生：因为n是正整数，所以-12要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项.在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.问题2：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式.师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是.帮助学生复习巩固数列的通项公式及其应用.2.学习新知思考：我们通过对谢宾斯基三角形数列整体变化情况进行观察得到该数列的一般规律，写出了其通项公式.换个角度，能否从运算的角度发现该数列的新规律？并用符号语言表示出来.师生活动：教师给学生提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用..以此方法观察上述谢宾斯基三角形序列中相邻的两个三角形中着色小三角形个数，你能发现有什么共同的规律吗？学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.学生接着通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形.于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍.追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？师生活动：学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出.教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是写成.问题3：用同样的思路观察下面的数列，你能发现什么结论？并用数学语言表示出来.1，1，2，3，5，8，13，21，34，…师生活动：教师引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：.教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这就是大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.问题4：什么是一个数列的递推公式？师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.例1已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项.师生活动：教师引导学生根据递推公式，令n=2，就得到.同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，。教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.强化递推公式推数列的项，培养学生运算的素养.问题5：在数列研究中，求数列某些项的和是主要研究问题之一.什么是数列的前n项和公式？师生活动：教师引导学生：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作.如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式.探究：根据数列前n项和的定义，你能发现数列的前n项和公式与通项公式有何联系吗？师生活动：教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前n-1项的和，也就是.如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，.学生接着思考n=1的情况，发现就是第1项，所以就等于.于是我们有.通过对数列的通项公式与前n项和的认识，帮助学生理解数列前n项和与数列通项公式之间的联系，突破本节课的难点.例2.已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？师生活动：教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.教师提醒学生关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，需要分段写.跟踪练习：已知数列的前n项和，则＝____________.通过具体问题帮助学生对通项公式与递推公式之间的关系进一步的理解，提升由数列的前n项和求数列通项公式的应用能力.追问：你能归纳出由数列的前n项和公式求通项公式的一般步骤吗？师生活动：已知数列的前n项和，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，.(2)当n≥2时，根据写出，化简.(3)如果也满足当n≥2时，的式子，那么数列的通项公式为，否则，分段书写.通过具体例题帮助学生归纳总结解题步骤，突破易错点，强化学生的数学运算的核心素养.3.课堂小结问题6：这节课学习了哪些新知识？数列的概念数列的概念递推公式前n项和公式应用与的关系师生活动：学生回顾本节课的核心知识和研究路径:递推公式和前n项和公式.关于递推公式，教师强调：递推公式是数列的重要表示方式，反映的是相邻两项或多项之间的关系，知道了一个数列的首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。关于前n项和公式，教师强调：我们可以通过一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式.教师告诉学生：按照研究路径，下节课将学习两种特殊的数列——等差数列和等比数列，让学生做好准备.引导学生回顾本节课学习的内容，并让学生尝试画出知识结构图.4.单元小结（1）这两节课，我们学习了数列的哪些知识？推出推出表示列表图象通项公式递推公式前n项和公式数列概念数列是一种特殊的函数（2）回顾本单元的学习过程，说说其中运用了怎样的思想方法？特殊到一般类比、归纳特殊到一般类比、归纳数形结合以知识为载体，通过对本单元的反思小结，凸显知识之间的联系，形成思维导图，突出学习过程中运用的数学思想方法，使学生收获的不仅仅是“鱼”，更重要的是主动获取“鱼”的方法——“渔”.对于数学抽象和数学建模过程的小结，更体现了“教”是为了“不教”.教师引导语：前面问题3中提到了斐波那契数列，下面请同学们把课本翻到第11页的阅读与思考：书上介绍说斐波那契数列有很多有趣的性质，更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列.请观看视频：大自然中的斐波那契数列.6.作业布置课本8页练习2，3，4题；习题4.1第4、6题.7.板书设计板书简洁明了、重点突出，有利于提高教学效果.目标检测设计（1）已知数列,,,则该数