高中数学 人教A版 必修一 《集合与常用逻辑用语》 1.5.1全称量词与存在量词（第一课时）

安徽省普通高中新课程新教材优秀课例教学资源教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题《1.5全称量词与存在量词》教科书书名：人教A版（2019年）数学必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月一、教学内容及其解析1.内容全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题；全称量词命题和存在量词命题的否定.本单元内容可分为2课时完成：第1课时，全称量词与存在量词；第2课时，全称量词命题与存在量词命题的否定.2.内容解析内容的本质：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.量词就是对变量的取值范围进行限定的短语，全称量词和存在量词是数学中常用的两类量词，是表达数学命题的基本语言．含有全称量词的命题叫做全称量词命题，含有存在量词的命题叫做存在量词命题，全称量词命题和存在量词命题的符号表示具有形式化、抽象化特点；全称量词命题和存在量词命题之间相互关联.蕴含的数学思想和方法：在用数学的语言表达和交流所研究的数学对象时，积累数学抽象的经验．全称量词与存在量词教学中蕴含着特殊与一般、转化与化归思想.知识的上下位关系：“全称量词与存在量词——全称量词命题和存在量词命题——全称量词命题和存在量词命题的否定”，其中，全称量词与存在量词是原始概念，“全称量词和存在量词”确定全称量词命题与存在量词命题概念的外延，而“全称量词命题和存在量词命题的否定”是在全称量词命题与存在量词命题的基础上得到的与原命题真假相反的新的命题．育人价值：中学数学是由概念、定义、公理、定理、法则及其应用等组成的逻辑体系.在理解数学概念、数学命题时，全称量词与存在量词和数学命题的形式化常伴其中，进行判断和推理时，必须理解清楚它们的含义，遵循逻辑规律，否则，就会犯逻辑错误.掌握全称量词与存在量词的知识，对于深刻领会中学数学教学内容、提升学生的数学抽象、逻辑推理核心素养，有着重要的意义和作用. 二、 教学目标及其解析1.教学目标理解全称量词的意义.掌握全称量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法；理解存在量词的意义.掌握存在量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法；理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”；理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”；能使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升数学抽象、逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）对一些含有变量的陈述句，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句p(x)都成立；判断为假命题，只需要找到一个反例，使语句p(x)不成立；（2）对一些含有变量的陈述句，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句p(x)成立的变量；判断为假命题，需要证明对每一个变量，语句p(x)都不成立；（3）通过分析典型的全称量词命题，能够写出全称量词命题的否定，理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”，体会两种命题之间的关系；（4）通过分析典型的存在量词命题，能够写出存在量词命题的否定，理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”，体会两种命题之间的关系；（5）通过使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会并能说明常用逻辑用语在表达数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的逻辑性和准确性，逐步提升逻辑推理素养.三、教学重难点教学重点：1.理解全称量词命题和存在量词命题的意义．2.掌握全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律．教学难点：1.正确地判断全称量词命题和存在量词命题的真假．2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．

四、教学问题诊断分析学生在学习数学符号的过程中存在一定的困难，这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂性，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征，对学生比较困难.主观因素在于理解数学符号表述含义的困难，这个困难不仅是对量词概念的理解还包括命题中所含的其他数学符号的含义.教师引导学生辨析很有必要.教师引导学生获得对问题本质的认识是具有挑战性的教学活动.所以企图在一节中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们.教学中，教师要采取适当的方法启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把定义告诉学生.注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动，引导学生总结判断全称量词命题与存在量词命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上.要防止练习中知识的面太大产生负迁移而影响理解概念的本质.全称量词命题和存在量词命题的否定是本单元的重点，也是一个难点.学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，逻辑推理能力有待进一步提升.在教学中应以学生探究为主进行学习，注意全称量词与存在量词之间的相互转化，否定词是学生容易忽略的，教师要加强引导，从意义上理解命题的否定.五、教学支持条件分析1.知识支持：在初中，学生已经无意识地接触过全称量词命题和存在量词命题，比如常见的数学结论：如同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等；同弧所对的圆周角是圆心角的一半等等，这些都为我们今天系统地学习全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示和命题的否定提供了知识上的支持.2.技术支持：利用网络平台在课前检测、学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中，由教师给出问题或者测试题，让学生回答或者解答，再由教师给出评价.六、教学过程第一课时1.5.1全称量词与存在量词（一）课时教学内容全称量词与存在量词（二）课时教学目标通过具体实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握常见的全称量词和存在量词及其符号语言，发展数学抽象核心素养；通过类比全称量词及全称量词命题学习存在量词及存在量词命题，发展类比思想；掌握判断命题真假的方法，可以用集合语言和逻辑用语表达，提升逻辑推理素养.（三）教学重点与难点(1)教学重点：全称量词命题的含义、表示以及判定全称量词命题真假的方法；存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法.(2)教学难点：提炼语句中的量词，把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题的形式；准确判断全称量词命题和存在量词命题的真假．（四）教学过程设计教学环节学习活动及评价问题引入情境导入:国庆期间，小明同学和爸爸妈妈爷爷奶奶一家人跟着旅行团来到了游乐场，成员信息如下表：姓名性别年龄（岁）身高（cm）体重（kg）小明男511219小明爸爸男3318885小明妈妈女3216360小明奶奶女6316258小明爷爷男6518290乐园中有很多有趣的项目，为了获得更好的游玩体验，要仔细研究游玩规则哦：思考1：细心的小明发现游乐场中的水上项目都要求年龄在60岁以内，你能说一说，小明爷爷能玩的水上项目么?师生活动：学生通过之前研究空集时得到的结论容易发现，回答是没有！即所有的水上项目，小明爷爷都不能玩.教师引导学生转化意思，注意“所有”一词的使用.【设计意图】通过具体情境让学生感受全称量词在实际生活中的使用.基于此，小明通过寻找发现，儿童碰碰车项目没有限制.思考2：我们是否可以说：有一个项目，小明爷爷可以玩?师生活动：容易发现，这句话是正确的。教师引导学生注意“存在”一词的使用.【设计意图】通过具体情境让学生感受存在量词在实际生活中的使用.合作探究问题1：思考并问答下面的问题:下列语句是命题吗?请同学们观察（1）和（3）、（2）和（4）,它们有什么不同？x>3；2x+1是整数；对所有的；（4）对任意一个是整数；【设计意图】复习所学知识,由命题引入,迈上本节课的“台阶”——量词.问题2：请同学们阅读课本24页的倒数第二段,这段文字有哪些概念词、符号和定义？请给它们不同的标记.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑上通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题称为全称量词命题，简记为：.师生活动：引导学生发现思考1的回答就是全称量词命题，并且通过判断是真命题.问题3：你还能举出一些常见的全称量词吗？“一切”、“每一个”、“全体”等.问题4：初中,我们已经接触过一些含有全称量词的命题,你能列举一些全称量词命题的实例吗？并要求说明理由.问题5：请同学们阅读课本24页的倒数第一段,全称量词命题的数学符号语言是如何表示的？其数学意义是什么？【设计意图】引导学生通过归纳实例，抽象出全称量词命题的符号表示.问题6：判断下列命题是否为全称量词命题，如果是，请判断其真假.（1）所有的素数都是奇数.（2）.（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数.（4）平行四边形的对角线互相平分.（5）有一个实数，它的绝对值不是正数.师生活动：师生共同探究，判断全称量词命题真假的方法为：全称量词命题为真,必须对给定的集合的每一个元素x,p(x)为真,但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合内找出一个x0,使p(x0)为假.【设计意图】通过举例子的方式引导学生完成对全称量词命题由自然语句向标准的全称量词命题形式的转化和判断全称量词命题的真假.引入存在量词命题的学习.问题7：用类比法探究存在量词和存在量词命题的含义、符号表示、常见的存在量词、列举一些存在量词命题的实例、判断存在量词命题的方法.以小组的形式讨论并汇报.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题称为存在量词命题，简记为：.师生活动：学生自主阅读课本并做标注.教师引导学生发现思考2就是存在量词命题，并且通过判断是真命题，同时帮助学生理解符号语言.问题8：判断下列存在量词命题的真假.（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0.（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.（4）有些平行四边形是菱形.【设计意图】通过实例，让学生体会全称量词命题和存在量词命题，并归纳总结判断这两种命题真假的一般方法.问题9：猜想：任何一个大于2的偶数都是两个质数之和.小组讨论：（1）探究8，14，42，80，100是否符合猜想.（2）据此能否推断猜想正确与否？【设计意图】哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，所以是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”,哥德巴赫猜想是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题.将数学史有机融入教学，激发学生探究兴趣，渗透数学文化.巩固练习例1．给出下列命题：①存在实数x0>1，使x02>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使关于x的方程ax2-ax+1=0至少有一负根.其中存在量词命题的个数为（）A．1B．2 C．3 D．4【解析】对于①，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题；对于②，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题；对于③，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在量词命题；对于④，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题．答案为C.例2．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，eq\f(1,x)>2【解析】A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，不满足eq\f(1,x)>2，所以D是假命题．答案为B.评价标准：明确全称量词命题和存在量词命题中的逻辑，能够理解并运用集合与命题之间的联系解题，能正确判断全称量词命题和存在量词命题的真假，利用命题的真假研究其他问题.课堂小结目标检测设