高中数学高考复习《立体几何大题》习题附详细解析

立体几何大题1．（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小（Ⅱ）求二面角的大小（Ⅲ）求三棱锥的体积2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且BM=B1M，又CMAC1.（Ⅰ）求证：A1B//平面AC1D（Ⅱ）求三棱锥B1-ADC1体积.3.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD （II）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小 （III）求点E到平面ACD的距离 4.已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD．异面直线PB与CD所成的角为45°．求：（1）二面角B—PC—D的大小（2）直线PB与平面PCD所成角大小5.四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形.E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=.（I）求证：AF//平面PCE（II）求点F到平面PCE的距离；（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小6.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点（I）求证：EF平面PAD（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小立体几何大题答案1．（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小（Ⅱ）求二面角的大小（Ⅲ）求三棱锥的体积答案：（I）arcsin2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且BM=B1M，又CMAC1.（Ⅰ）求证：A1B//平面AC1D（Ⅱ）求三棱锥B1-ADC1体积.答案：提示：连接,交于点连接,则是的中位线，,又,.在正三棱锥中，的中点，则,从而,又,则内的两条相交直线都垂直，,于是,则与互余，则与互为倒数，易得，连结，,,三棱锥的体积为.方法：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,,,,，，，，，，设平面的法向量，则，，,，.平面的法向量为，点到平面的距离，..3.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD （II）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小 （III）求点E到平面ACD的距离．答案：方法一： （I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 方法二： （I）同方法一. （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。 又 点E到平面ACD的距离 4.已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD．异面直线PB与CD所成的角为45°．求：（1）二面角B—PC—D的大小（2）直线PB与平面PCD所成角大小∵AB//CD，∠ABP=45°， 于是PA=AB．作BE⊥PC于E，连接ED，在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠BEC=∠DEC，∴△ECB≌△ECD∴∠CED=∠CEB=90°,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角．设AB=a，则BD=PB=，PC=，BE=DE=,cos∠BED=,∠BED=120°即二面角B—PC—D的大小为120°（2）还原棱锥为正方体ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F,∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，∴BF⊥平面PB1CD,连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°．所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°5.四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形.E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=.（I）求证：AF//平面PCE（II）求点F到平面PCE的距离；（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小.解法一：（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，=则FG//.=== 又由已知有== ∴四边形AEGF是平行四边形. 平面PCE，EG （II） . （III）由（II）知 解法二：A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0） （I）取PC的中点G，连结EG，则 （II）设平面PCE法向量 （III） 直线FC与平面PCE所成角的大小为. 9.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；答案：解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，∴平面PAD，∵E、F为PA、PB的中点∴EF//AB，∴EF平面PADM（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O∵，则PO平面ABCDM取AO中点M，连OG，,EO,EM∵EF//AB//OG∴OG即为面EFG与面ABCD的交线又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,故OGEO∴即为所求，EM＝ＯＭ＝１∴tan＝故＝∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是方法2：（I）证明：过P作POAD于O，∵，则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，∵PA＝PD，∴，得，，故，∵∴EF平面PAD；（II）解：，设平面EFG的一个法向量为则，，平面ABCD的一