平面向量讲义学生版

平面向量讲义学生版学学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗梳理向量与数量知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来思考20的模长是多少0有方向吗思考3单位向量的模长是多少梳理(1)向量的表示量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示知识点三相等向量与共线向量AB共线吗思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗类型一向量的概念例1下列说法正确的是()A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．任意两个单位向量都相等反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．类型二共线向量与相等向量反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．(1)与的模相等的向量有多少个(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量若存在，有几个(3)与共线的向量有哪些类型三向量的表示及应用反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．a1.A量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么1．下列结论正确的个数是()2．下列说法错误的是()A．若a＝0，则|a|＝0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．学学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．思考1从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么体现了向量的什么运算梳理(1)向量加法的定义(2)向量加法的法则则则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．知识点二向量加法的运算律思考1实数加法有哪些运算律梳理向量加法的运算律类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)(2)反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．类型二向量加法运算律的应用反思与感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．类型三向量加法的实际应用2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．下列等式中错误的是(下列等式中错误的是(A．矩形B．正方形C．平行四边形D．菱形5．小船以103km的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h，则小船的实际航行速度1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量知识点一相反向量知识点二向量的减法向量的减法．(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量ab.思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|ababab形的三边关系，则有||a|－类型一向量减法的几何作图反思与感悟在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．类型二向量减法法则的应用反思与感悟向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．类型三向量减法几何意义的应用ababABCD()A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形向量和分别是()及.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．学学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘的结果是实数还是向量梳理数乘向量知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律梳理向量数乘运算律aμ)a.知识点三向量共线定理梳理(1)向量共线的判定定理(2)向量共线的性质定理知识点四向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．类型一向量数乘的基本运算(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的命题角度2利用向量共线求参数值反思与感悟利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．类型三用已知向量表示其他向量AC＋ABAB－AC→2AC＋ABAB－AC33AC－ABAC＋AB→1AC－ABAC＋AB33反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．→AM1kCP1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．a2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量|a|表示与向量a同向的单位a3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．3．2平面向量基本定理学学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点平面向量基本定理梳理(1)平面向量基本定理类型一对基底概念的理解RA．①②B．②③C．③④D．②反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．ee是()1类型二平面向量基本定理的应用→BF.abab为基底表示.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③2.如图，已知A＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于()3111a＋b为基底时，可(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．4．2平面向量线性运算的坐标表示学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解组基底知识点二平面向量的坐标表示ijaiaij为基底，如梳理(1)平面向量的坐标jaxya＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记j(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同区别联系知识点三平面向量的坐标运算y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示文文字语言表述向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标数学公式λa＝(λx1，λy1)法类型一平面向量的坐标表示反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．类型二平面向量的坐标运算反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．11类型三平面向量坐标运算的应用反思与感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．n5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝(xB3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共知识点向量平行思考4如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗abb不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有________________．即若两个向量(与坐标轴不平行)平_类型一向量共线的判定与证明例1(1)下列各组向量中，共线的是()反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．类型二利用向量共线求参数反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求xyc类型三三点共线问题反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．A．1B．－1C．4D．－4y(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一两向量的夹角思考1平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗b≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示)．→知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义类型二求向量的模思考1如何计算这个力所做的功思考2力做功的大小与哪些量有关(2)数量积的特殊情况知识点三平面向量数量积的几何意义知识点四平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定梳理向量的数量积的性质类型一求两向量的数量积反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，33A．－2a2B．－4a2a2a2类型三求向量的夹角反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．3跟踪训练3已知a·b＝－9，a在b方向上的射影为－3，b在a方向上的射影为－2，求a与b的夹角θ.A．4B．－4C．2D．－21．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．运算运算律实数乘法判断正误换律分配律去律知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式多项式乘法梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号类型一向量数量积的运算性质类型二平面向量数量积有关的参数问题9A．－2B．0C．3两向量夹角的取值范围求参数的取值范围ekeek反思与感悟由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈[0，1．下面给出的关系式中正确的个数是()31学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示和．知识点二向量模的坐标表示知识点三向量夹角的坐标表示知识点四直线的方向向量思考1什么是直线的方向向量思考2直线的方向向量唯一吗梳理(1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．A(2)对于直线l：Ax＋By＋C＝0，可取直线l的方向向量为m＝(1，－B)(B≠0)，或取直线l的方向向量为m＝(B，A类型一平面向量数量积的坐标表示反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是不成立．类型二向量的模、夹角问题反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．s类型三向量垂直的坐标形式11反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．2．已知向量，则∠ABC等于()AB°A．－4B．－3C．－2D．－11．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．学学习目标1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．思考类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量梳理(1)与直线的方向向量________的