三角形角平分线、中线、高线证明题

DD2．证题的思路：找夹角（SAS）已知两边］找直角（HL找夹角（SAS）已知两边］找直角（HL）找第三边（SSS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。已知一边一角＜若边为角的对边，则找任意角（AAS）'找已知角的另一边（SAS）找已知边的对角（AAS）我夹已知边的另一角（ASA）边为角的邻边12、全等三角形的对应边上的高对应相等。找两角的夹边（ASA）找任意一边（AAS）3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。（以上可以简称:全等三角形的对应元素相等）7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的

和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角

形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．三角形辅助线做法也可将图对折看，对称以后关角平分线加垂线，三线合一试也可将图对折看，对称以后关角平分线加垂线，三线合一试要证线段倍与半，延长缩短可三角形中有中线，延长中线等系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。试验。三角形中两中点，连接则成中位线。中线。一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图4ABC中，AB=5,AC=3,AD的取值围是.例2、如图，4ABC中，E、F分别在AB、AC上，点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，4ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.二、截长补短BC1、如图，NABC中，AB=2AC,AD平分ZBAC,且AD二BD,求证：CDLAC

BC3、如图，已知在VABC,/BAC=600,上，并且AP,BQ分别是/BAC,BQ+AQ=AB+BP/C=400,P,Q分别在BC,CA

ZABC的角平分线。求证：4、如图，在四边形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分ZABC/C=400,P,Q分别在BC,CA

ZABC的角平分线。求证：5、如图在4ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证;AB-AOPB-PC相交于点O,求证：OE=OD三、借助角平分线造全等1、如图，已知在4ABC中，NB=60°,4ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD2、如图，4ABC中，AD平分NBAC,DGLBC且平分BC,DELAB于E,DF^AC于F.⑴说明BE二CF的理由；⑵如果AB=a,AC=b，求AE、BE的长.三、解答题:（共55分）10.如图,4ABC中,NC=90°,AB=2AC,M是AB的中点点N在BC上,MNLAB.求证:AN平分NBAC.（7分）.已知：如图AC、BD相交于点O,AC=BD,NC=ND=90°,求证:OC=OD.（8分）.已知：如图,AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AFJ_CD,F为垂足，求证:CF=DF.（8分）.在4ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD或证:AE=AD.（8分）.已知如图,AB=AC,ZBAC=90°,AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧,BDJAE于D,CEJAE于E,求证:BD=DE+CE.（8分）

ACAC15已知如图在△ABC中/BAC=2NB,AB=2AG求证:4ABC是直角三角形?(8分)16.已知如图在△ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF连结EF过点A作ADLBC,垂足为口反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)全等三角形1.将直角三角形(NACB为直角)沿线段CD折叠使B落在B′处，若NACB’=60。，则NACD度数为.2.如图，4ABE和△ACD是4ABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的，若NBAC=150。，则NEFC的度数为..已知4ABC中，NABC=45。，AC=4,H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为..如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，⑴若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

(2)若^DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．.如图所示，已知N1=N2,EFLAD于P,交BC延长线于M,求证：2NM二(ZACB-ZB)BE平分ZABCBE平分ZABC,

连结DH与BEBF=AC；1CE=-BF；2.4ABC中，NA=90。，AB=AC,D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE^DF,试判断DE、DF的数量关系，并说明理由..已知：如图，△ABC中，ZABC=45,CD1AB于D,且BE1AC于E，与CD相交于点F,H是BC边的中点相交于点G.(1)求证：(2)求证：

.如图，点O是等边△ABC一点，/AOB=110。，/BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转63得△ADC,连接OD.⑴求证：MOD是等边三角形；⑵当a=150，时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？.如图，4ABC中，E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分NBAC；②DELAB,DFLAC；③ADLEF.以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即①②今③，①③今②，②③今①.试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题．B DCB DC.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE,CD.(1)求证：△AGE^^DAC；(2)过点E作EF/DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．.如图所示,已知点C为线段AB上一点,4ACM、△BCN是等边三角形.试说明:(1)AN=BM;CD=CE(3)连接DE,猜想：①4CDE的形状②DE与AB的位置关系。⑷若把原题中“4ACM和^BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?请说明理由.

B12、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下:如图所示,NAOB是一个任意角在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.过角尺顶点P的射线OP便是NAOB的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.B13、操作：如图①，aABC是正三角形，4BDC是顶角NBDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.14、已知：如图分别以^ABC的每一条边，在三角形外作等边三角形，^ABD、△BCE、4ACF,求证：CD=AE=BF.15、已知：如图在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中，有三个三角形全等,在图中全等三角形的有几组？请指出它们，并且选择一组给出证明

16.（2003。如图，在RtAABC中,AB=AC/BAC=90°,O为BC的中点.⑴写出点O到4ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不证明）;⑵如果点M、N分别在线段AB、AC上移动在移动中保持AN二BM,请判断^OMN的形状并证明你的结论.2、如图，已知N1=N2,NC=ND证明：NA=NF3、已知：如图，AB〃CD,N1=NB,N2=ND.求证：BELDE.4、如图，AB〃CD,求证：NA+NC+NAEC=360。5、如图，若AB〃CD,猜想NA、NE、ND之间的关系，并证明之。

7、 如图，平行四边形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC,E为AD的中点，在不添其他字母和线段的情况下，回答下列问题：(1)图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等？(2)图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等？有三角形的面积。8、如图，