20192020学年高中数学第三章三角恒等变形3二倍角三角函数(二)学案北师大版必修4

§3二倍角的三角函数(二)内容要求1.能用二倍角公式导出半角公式，领会此中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．知识点半角公式(1)Sα：sinα1－cosα22＝±2；(2)Cα：cosα1＋cosα22＝±2；αα1－cosαsinα1－cosα(3)T2：tan2＝±1＋cosα(无理形式)＝1＋cosα＝sinα(有理形式)．【预习评论】1α1．若cosα＝3，且α∈(0，π)，则sin2的值为()33A．－3B.3C.6D．－633答案B2．已知cos2ππ，则cosα)α＝，α∈－，的值为(3222630A.6B.6630C．－6D．－6答案B题型一应用半角公式求值【例1】已知cosα＝1，α为第四象限角，求sinα、cosα、tanα.32221解sinα1－cosα1－332＝±2＝±2＝±3，1cosα1＋cosα1＋362＝±2＝±2＝±3，1α1－cosα1－32tan2＝±1＋cosα＝±1＝±2.1＋3∵α为第四象限角，∴α为第二、四象限角．2α当2为第二象限角时，α3α6α2sin2＝3，cos2＝－3，tan2＝－2；α当2为第四象限角时，α3α6α2sin2＝－3，cos2＝3，tan2＝－2.规律方法在运用半角公式时，要注意根号前符号的选用，不可以确准时，根号前应保持正、θθsinθ1－cosθ负两个符号，而关于tan2，还要注意运用公式tan2＝1＋cosθ＝sinθ来求值．45πθθ【训练1】已知sinθ＝5，且2<θ<3π，求cos2和tan2.5π解∵sinθ＝5，2<θ<3π，3cosθ＝－1－sinθ＝－5.由cosθ＝2cos2θ－1得cos2θ＝1＋cosθ＝1.22253<<π.4225πθ1＋cosθ5∴cos2＝－2＝－5.θθθθsin22cos2sin2sinθtan2＝cosθ＝2cos2θ＝1＋cosθ＝2.22题型二利用半角公式化简sinα－cosα＋cosα＋sinα【例2】化简223π＜α＜2π.2＋2cosα2解∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜α2＜π，∴原式αα2αααsin2－cos22cos2＋2sin2cos2＝2α4cosααααα2cos2sin2－cos2cos2＋sin2＝α－2cos22α2α＝cos2－sin2＝cosα.规律方法关于三角函数式的化简有下边的要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数式中的项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数；尽量使被开方数不含三角函数．11113π，2π.【训练2】化简：2－22＋2cos2α，α∈23π11解∵α∈2，2π，∴cosα＞0，则由半角公式得2＋2cos2α＝cosα，∴原式11α3π，πα11α＝2－2cosα.又2∈4，∴sin2＞0，进而2－2cosα＝sin2，α即原式＝sin2.方向1三角恒等式的证明sin4xcos2xcosxx＝tanx【例3－1】证明：1＋cos4x·1＋cos2x·1＋cos2.证明左侧＝2sin2xcos2x·cos2x·cosx2cos22x1＋cos2x1＋cosxsin2xcosx2sinxcosxcosx＝1＋cos2x·1＋cosx＝2cos2x·1＋cosxxxsinx＝2sin2cos2＝1＋cos2xx2cos2xtan2＝右侧．所以原等式成立．方向2三角恒等变形的综合应用【例3－2】已知函数f(x)＝3cos2x－π－2sinxcosx.3求f(x)的最小正周期；ππ1(2)求证：当x∈－4，4时，f(x)≥－2.(1)解f(x)＝3cos2x－π33133－2sinxcosx＝2cos2x＋2sin2x－sin2x＝2sin2x＋2πcos2x＝sin2x＋3，2π所以f(x)的最小正周期T＝2＝π.知f(x)＝sin2x＋π(2)证明由(1)3.ππππ5π∵x∈－4，4，∴2x＋3∈－6，6，∴当2x＋π＝－π，36即x＝－π时，f(x)获得最小值－1.421∴f(x)≥－2得证．方向3三角函数的实质应用π【例3－3】如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为4的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？求出这个最大面积．解在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sinα，∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinαcosαsinα－sin2α1sin2α－1－cos2α2222sin2α＋21＝cos2α－22222π12sin2α＋4－2.由0＜α＜π，得π＜2α＋π＜3π.4444∴当2α＋ππ4＝2，π2－1即α＝8时，S最大＝2.π2－1所以，当α＝8时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2.规律方法1.为了研究函数的性质，常常要充分利用三角变换公式转变为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．解决有关三角函数的实质问题，应第一设定主变量角α以及有关的常量与变量，成立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.讲堂达标1．若cosα＝1，α∈(0，π)，则cosα的值为()3266A.3B．－363C．±3D．±3分析由题意知α∈(0，π)，∴cosα>0，cosα＝1＋cosα＝6.222223答案Axπx)2．函数f(x)＝2sinsin－的最大值等于(23213A.2B.2C．1D．2xsinπcosxx分析∵f(x)＝2sin－cosπsin232323sinx－sin2x31－cosx＝＝sin－222x23112sinx＋2cosx－21sinx＋6－2.1f(x)max＝2.答案A3．计算：tan12°－3＝________.212°－sin12°－3cos12°－分析原式＝2sin12°cos12°cos24°＝1＝－4.2sin48°答案－44．设5π＜θ＜6π，cosθ＝1，则sinθ＝________.2345πθ3πθ分析∵4＜4＜2，∴sin4＜0.θ1θ1－cos21－33∴sin4＝－2＝－2＝－3.3答案－33π1＋sinα5．已知π<α<2，化简1＋cosα－1－cosα＋1－sinα.1＋cosα＋1－cosαα＋cosα2解原式＝22αα2|cos2|－2|sin2|α－cosα2＋22α，α2|cos2|＋2|sin2|3ππα3π∵π<α<2，∴2<2<4，α<0，sinα>0.∴cos22αα2αα2∴原式＝2＋cos2＋2－cos2α－cos－2α＋cosα2α2222ααααsin2＋cos2sin2－cos2＝－2＋2α＝－2cos2.讲堂小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾照本宣科公式，而忽略对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．协助角公式asinx＋cosx＝2＋2sin(x＋φ)，此中φ知足：①φ与点(，)同象bababbba限；②tanφ＝a(或sinφ＝a2＋b2，cosφ＝a2＋b2).基础过关1．以下各式与tanα相等的是()1－cos2αsinαA.1＋cos2αB.1＋cosαsinα1－cos2αC.1－cos2αD.sin2α1－cos2α2sin2αsinα分析sin2α＝2sinαcosα＝cosα＝tanα.答案D2．已知180°<α<360°，则cosα的值等于()21－cosαB.1－cosαA．－22C．－1＋cosαD.1＋cosα22答案C3．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )ππA.B.63π2πC.2D.3分析f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)π2sin2x＋3＋θ.2当θ＝3π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x.答案Dαα55πα4．已知sin2－cos2＝－5，且α∈(2，3π)，则tan2＝________.分析由条件知α∈(5π，3π)，242ααα5tan2＞0.由sin2－cos2＝－5，∴1－sin143α＝sinαα＝.∴sinα＝，cosα＝－，tan＝2.55521＋cosα答案25．函数f(x)＝sin(2x－π)－22sin2x的最小正周期是______．422分析∵f(x)＝2sin2x－2cos2x－2(1－cos2x)22π＝2sin2x＋2cos2x－2＝sin(2x＋4)－2，2π∴T＝2＝π.答案ππ3π36．已知2≤α＜2π，且cosα＋4＝5，求cos2α及sin2α的值．π3π解由于2≤α＜2，3ππ7π所以4≤α＋4＜4，3又由于cosα＋4＝5＞0，所以3π＜α＋π＜7π，244所以sinπ1－cos2πα＋4＝－α＋44＝－.52由于sinα＋4＝2(sinα＋cosα)，2cosα＋4＝2(cosα－sinα)，所以sin4232α＋cosα＝－，cosα－sinα＝.55所以cos2α＝cos2α－sin2α24＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－25.sin2α＝2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2－(sin2α＋cos2

7)＝25－1＝25.7．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．解f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos60°＋5cos(x＋20°)sin60°11532sin(x＋20°)＋2cos(x＋20°)＝1125322＋sin(x＋20°＋φ)2＝7sin(x＋20°＋φ)此中cosφ＝11，sin5314φ＝.14所以f(x)max＝7.能力提高131－cos50°8．设a＝2cos6°－2sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝2，则有( )A．c<b<aB．a<b<cC．a<c<bD．b<c<a分析a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝2sin13°·cos13°＝sin26°，c＝sin25°，y＝sinx在[0°，90°]上是递加的．a<c<b.答案Cα41＋tan29．若cosα＝－，α是第三象限的角，则等于( )51－tanα2A．－112B.2C．2D．－2分析∵α是第三象限角，cos43α＝－，∴sinα＝－.55sinα1＋21＋tanααcosα＋sinαcos2∴222＝＝cosα－sinα1－tanαsinα21－222αcos2ααααcos2＋sin2cos2＋sin2＝αα·ααcos2－sin2cos2＋sin231＋sinα1－51.＝cosα＝4＝－25答案A10．若f()＝cos2x－2(1＋cosx)的最小值为－1＝________.，则xa2a分析f(x)＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－2a－1，令t＝cosx．则2－1≤t≤1，函数f(x)可转变为y＝2t2－2at－2a－1＝2t－a2－a－2a－1，22a13当2＞1，即a＞2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－2，解得a＝8，不切合a＞2，舍去；aa＜－2时，当t＝－1时，min＝2＋2－2a1当＜－1，即－1＝1≠－，不切合题意，舍去；2ya2aaa21当－1≤2≤1，即－2≤a≤2时，当t＝2时，ymin＝－2－2a－1＝－2，解得a＝－2±3，由于－2≤a≤2，所以a＝－2＋3.综上所述，a＝－2＋3.答案－2＋311．函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1，给出以下四个命题：π5π①在区间，上是减函数；π②直线x＝8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y＝2sin2x的图像向左平移π而获得；4π④若x∈0，2，则f(x)的值域是[0，2]．此中正确命题序号是________．解f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝2sinπ2x＋.4π5f(x)在[8，8π]上是减函数，①正确．π当x＝8时，f(x)取最大值2，故②正确，y＝2sin2x向左平移π个单位长度可得f(x)的图像，故③错．8当x∈0，π时，2x＋π∈π，5π，则f(x)∈[－1，2]，故④错．2444答案①②．已知函数f(x)＝sin2x＋π＋sin2x－π＋2cos2－，∈R.1233x1x求函数f(x)的最小正周期;π求函数f(x)在区间－4，4上的最大值和最小值．ππππ解(1)f(x)＝sin2x·cos3＋cos2x·sin3＋sin2x·cos3－cos2x·sin3＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝2＋π2sinx4.2π所以，f(x)的最小正周期T＝2＝π.πππ，π(2)由于f(x)在区间－，上是增函数，在区间上是减函数．4884又f－πππ4＝－1，f8＝2，f4＝1，ππ故函数f(x)在区间－4，4上的最大值为2，最小值为－1.13．(选做题)函数f(x)＝6cos2ωx＋3sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如下图，A2为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．求ω的值及函数f(x)的值域;(2)83∈－102，求f(x0＋1)的值．若f(x0)＝，且x03，35解(1)由已知可得，f(x)＝3