高阶微分方程方程组

高阶微分方程方程组第一页，共二十四页，2022年，8月28日教学要求（基本理论与方法）一阶线性方程组的基本理论与解的性质线性方程组的向量表示和存在唯一性齐次与非齐次线性方程组解的性质和结构基解矩阵及常数变易公式

常系数线性方程组微分方程的求解

exp(At)的定义与性质

exp(At)的三种计算方法和两种特例

常系数非齐次线性方程组的求解第二页，共二十四页，2022年，8月28日

齐次/非齐次线性方程组解的性质和通解结构解的性质（叠加原理）；解的线性相关/无关性及判别（Wronsky行列式）齐次与非齐次通解结构（基本解组）基解矩阵及其性质、常数变易公式基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性向量表示：向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）第三页，共二十四页，2022年，8月28日矩阵指数与基解矩阵矩阵指数expA的定义与性质基解矩阵表示基解矩阵的计算方法基解矩阵与特征值（向量）关系特征值（向量）方法若当块方法递推公式方法第四页，共二十四页，2022年，8月28日

高阶(线性)微分方程的求解

常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法

常系数非齐次线性方程的比较系数法

一般非齐次线性方程的常数变易法一般高阶（线性）方程的降解法*(了解)二阶方程的幂级数法（Bessel方程）第五页，共二十四页，2022年，8月28日常系数齐次线性微分方程的通解---特征根法基本解组复解实值转化第六页，共二十四页，2022年，8月28日欧拉方程的基本解组---变换特征方程基本解组第七页，共二十四页，2022年，8月28日非齐次常系数线性方程的特解----比较系数法类型Ⅰ类型II特解特解待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端求出系数，从而得到特解（待定系数法！）第八页，共二十四页，2022年，8月28日n-k阶方程n-1阶方程n-1阶方程并反复k次，得n-k阶方程方程变换结果一般高阶方程---降阶法二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）第九页，共二十四页，2022年，8月28日为齐次方程的基本解组，则通解：求一般非齐次线性方程的特解---常数变易法假设非齐次的某特解：第十页，共二十四页，2022年，8月28日幂级数解法

Bssel方程的通解公式和Bessel函数二阶线性方程----幂级数解法*第十一页，共二十四页，2022年，8月28日齐次：基本解组非齐次：特解常系数齐次：特征根法常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法幂级数法*、分解法变系数方程（非齐次）：降阶法、幂级数法*第十二页，共二十四页，2022年，8月28日1计算特征值，n个无关的特征向量；（I）n个线性无关特征向量情形2求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；第十三页，共二十四页，2022年，8月28日（2）求解子空间Uj并分解：（1）求A的特征值、特征向量（3）仅一个特征值利用公式(5.53);（4）（II）基解矩阵的计算方法---递推法第十四页，共二十四页，2022年，8月28日利用递推法计算基解矩阵结论其中是下列初值问题的解(III)

基解矩阵的计算方法---递推法第十五页，共二十四页，2022年，8月28日练习第十六页，共二十四页，2022年，8月28日§3.7

稳定性问题

在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。第十七页，共二十四页，2022年，8月28日一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。（3.28）

若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。第十八页，共二十四页，2022年，8月28日例7

本章第2节中的Logistic模型共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。

当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。图3-17

定义1自治系统的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标的空间Rn。特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。第十九页，共二十四页，2022年，8月28日定义2设x0是（3.28）的平衡点，称：（1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε对所有的t都成立。（2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且。

微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0则是不稳定的。第二十页，共二十四页，2022年，8月28日解析方法定理1设xo是微分方程的平衡点：若,则xo是渐近稳定的若,则xo是渐近不稳定的证由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若，则当x<xo时必有f(x)>0，从而x单增；当x>xo时，又有f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是渐进稳定的。的情况可类似加以讨论。高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日考察两阶微分方程组：（3.29）

令，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:考察（3.29）的线性近似方程组:（3.30）其中：第二十二页，共二十四页，2022年，8月28日记λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，则，记。讨论特征值与零点稳定的关系（1）若△>0，可能出现以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。当p>0时，零点不稳定；当p<0时，零点稳定若q<0，λ1λ2<0

当c1=0时，零点稳定当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点③q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。（2）△=0，则λ1=λ2:

λ有两个线性无关的特征向量当p>0时，零点不稳定当p<0时，零点稳定第二十三页，共二十四页，2022年，8月28日②如果λ只有一个特征向量当p≥0时，零点不稳定当p>0时，零点稳定（2）△<0，此时若a>0，零点稳定若a=0，有零点为中心的周期解

综上所述：仅当p<0且q>0时，（3.30）零点才是渐近稳定的；当p