杭州市采荷中学2023年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．2．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是()A． B． C． D．3．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A．π B．πC．16π D．32π4．已知点P(，)为角的终边上一点，则（）A． B．- C． D．05．函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴方程是（）A． B． C． D．6．已知向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．7．已知集合，对于满足集合A的所有实数t，使不等式恒成立的x的取值范围为A． B．C． D．8．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．9．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为()A．-4 B．-3 C．-2 D．-110．是()A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆与圆的公共弦长为______________。12．函数的最小正周期___________.13．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.14．已知,,则______.15．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______16．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足：.（1）求证：数列为等差数列，并求；（2）记，求数列的前项和.18．已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数在上的最大值和最小值.19．已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.20．在中，角所对的边是，若向量与共线.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.21．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值时的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由题可知，直线：，设，，得，又，解得，所以双曲线方程为，故选B。2、A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，，，，即，，即所以，包含0,所以k=0,,,,选A．【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算．3、B【解析】

作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．4、A【解析】

根据余弦函数的定义，可直接得出结果.【详解】因为点P(，)为角的终边上一点，则.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记概念即可，属于基础题型.5、D【解析】

先根据函数的周期求出的值，求出函数的对称轴方程，然后利用赋值法可得出函数图象的一条对称轴方程.【详解】由于函数的最小正周期为，则，，令，解得.当时，函数图象的一条对称轴方程为.故选：D.【点睛】本题考查利用正弦型函数的周期求参数，同时也考查了正弦型函数图象对称轴方程的计算，解题时要结合正弦函数的基本性质来进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.6、C【解析】试题分析：，设向量的夹角为，考点：向量夹角及向量的坐标运算点评：设夹角为，7、B【解析】

由条件求出t的范围，不等式变形为恒成立，即不等式恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理．【详解】由得，，

不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，

只需或恒成立，

只需或恒成立，

只需或即可．

故选：B．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．8、A【解析】

设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意有，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.【详解】设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意，，解得，所以，所以外接球的表面积，故选：A【点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、D【解析】

由韦达定理确定，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．【详解】由韦达定理得：，，所以，由题意这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间所以，即因为这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在的中间假设，则即故选D【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且，，则2必为等比中项，有．10、A【解析】

将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．【详解】由题意得，∵，且函数的最小正周期为，∴函数时最小正周期为的偶函数．故选A．【点睛】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.【详解】由两圆方程相减得两圆公共弦方程为，即，圆化为，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为，故答案为.【点睛】本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.12、【解析】

利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.【详解】依题意，故函数的周期.故填：.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.13、【解析】

把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．【详解】把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，两次都是正面向上的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.14、【解析】

直接利用二倍角公式，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，得，由，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用二倍角公式求值，属基础题.15、【解析】由题意可得，解得．

∴等差数列的前三项为-1，1，1．

则1．

故答案为．16、6【解析】

利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知，解得x＝6.故答案为6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2）．【解析】

（1）由等差数列的定义证明，利用等差数列通项公式可求得；（2）用裂项相消法求数列的和．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴是等差数列，公差为，，∴，∴；（2）由（1），所以．【点睛】本题考查用定义证明等差数列，考查等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的前项和．掌握等差数的定义是解题关键．数列求和时除掌握等比数列的求和公式外还要掌握数列的几种求和方法：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．18、（1）；（2）5；-2【解析】

（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由求出的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1），，令，即单减区间为；（2）由，当时，的最小值为：-2；当时，的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题19、（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1【解析】

（1）根据韦达定理即可。（2）分别对三种情况进行讨论。（3）带入，分别对时三种情况讨论。【详解】（1）的解集为可得1，2是方程的两根，则，（2）时，时，时，（3），为上的奇函数当时，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；对于任意的都有则等价于或（）则的最小值为1【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。20、(1)(2)【解析】

（1）由题可得，利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式整理可得，进而得到答案．（2）由正弦定理得，，所以周长，化简整理得，再根据角的范围求得答案．【详解】解：（1）由与共线，得，由正弦定理得：，所以又，所以因为，解得．（2）由正弦定理