江苏省南京市玄武高级中学2023年数学高一下期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在等差数列中，的等差中项为，的等差中项为,则数列的通项公式（）A． B．-1 C．+1 D．-32．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A． B． C． D．3．下列各角中与角终边相同的是（）A． B． C． D．4．若将函数的图象向左平移个最小周期后，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．5．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．3 B．6 C．9 D．816．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．7．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A． B． C． D．8．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）.A． B． C． D．9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位10．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A．3 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.12．P是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是_______.13．方程在区间上的解为___________．14．若正实数，满足，则的最小值是________.15．圆与圆的公共弦长为________.16．已知函数的部分图象如图所示，则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆，过点作直线交圆于、两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．18．设函数.（1）若，解不等式；（2）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.19．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值.20．已知，为常数，且，，．（I）若方程有唯一实数根，求函数的解析式．（II）当时，求函数在区间上的最大值与最小值．（III）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．设平面向量，，函数．（Ⅰ）求时，函数的单调递增区间；（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：由于数列是等差数列，所以的等差中项是，故有，又有的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．2、A【解析】

先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、D【解析】

写出与终边相同的角，取值得答案．【详解】解：与终边相同的角为，，取，得，与终边相同．故选：D．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，属于基础题．4、B【解析】

首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题．【详解】函数的最小正周期为,函数的图象向左平移个最小正周期即平移个单位后，所得图象对应的函数为,即.故选：B.【点睛】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.5、A【解析】

利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.【详解】且本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.6、A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.7、D【解析】

平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案．【详解】如图所示：由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，由于，，所以，故B正确，由于，，在外，所以，故C正确；对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；故答案选D【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键．8、A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．9、D【解析】

把系数2提取出来，即即可得结论．【详解】，因此要把图象向右平移个单位．故选D．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换．要注意平移变换是加减平移单位，即向右平移个单位得图象的解析式为而不是．10、D【解析】

由等比数列的性质求得，再由等差数列的性质可得结果.【详解】因为等比数列，且，解得，数列是等差数列，则，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为.考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.12、【解析】

从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可【详解】由题意，若以BC为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是若以BB1为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是cm故答案为【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求13、【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.14、【解析】

将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立.故填：.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15、【解析】

先求出公共弦方程为，再求出弦心距后即可求解.【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离为，公共弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.16、【解析】

由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），结合即可得解.【详解】由图可得：，所以，解得：由图可得：当时，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【点睛】本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程．【详解】（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．当直线过圆心，时，，∴直线的方程为，即．（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．圆心到直线的距离，∴弦．（）由于，而弦心距，∴，∴是的中点．故以线段为直径的圆圆心是，半径为．故以线段为直径的圆的方程为．18、（1）或；（2）【解析】

（1）时，不等式化为，求解即可；（2）分和两种情况分类讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.【详解】（1）时，不等式化为，即，解得或，即解集为：或.（2）当时，，符合题意，当时，由题意得，解得，综上所述，实数的取值范围是：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19、（1）；（2）【解析】

(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为，由已知条件可得到，再由第一问中得到，结合第一问中的条件可得到结果.【详解】（1）=已知,将式子两边平方可得到（2）为第二象限角，且角终边在上，则根据三角函数的定义得到原式化简等于由第一问得到将已知条件均代入可得到原式等于.【点睛】三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.20、（I）;（II）;;（III）.【解析】

（I）根据方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根据二次函数的性质，函数的单调性，即可求得求得最值，（III）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可.【详解】∵，∴，∴.（I）方程有唯一实数根，即方程有唯一解，∴，解得∴（II）∵,∴，,若,若.（III）解法一、当时，不等式恒成立，即：在区间上恒成立，设，显然函数在区间上是减函数，,当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此.解法二：因为当时，不等式恒成立,所以时，的最小值,当时，在单调递减，恒成立,而,所以时不符合题意．当时，