华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程

第22章一元二次方程22.1一元二次方程分别指出下面的方程叫作什么方程？(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；(3).

解：（1）一元一次方程；（2）二元一次方程；（3）分式方程.一、新课导入理解一元二次方程的概念及它的一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；理解一元二次方程的解的概念.12二、学习目标三、研读课文认真阅读课本上的内容，完成练习并体验知识点的形成过程.知识点一引言中的方程①请问方程是什么方程呢？如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题1设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为___________,宽为___________,得方程___________________.整理得_______________②(100-2x)cm(50-2x)cm(100-2x)(50-2x)=3600x2-75x+350=0要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？问题2设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各比赛一场，可列方程为______________整理得________③观察方程①②③的共同点：（1）这些方程的两边都是_____；（2）都只含有______未知数x；（3）它们的最高次数都是____次。x-1x2-x=56整式一个2因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念

练一练下列方程是一元二次方程的是_____（填序号）.①3x2+7=0②3x-4=5x+6③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-=0①一元二次方程一般的形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．因为当a=0时，二次项就不存在了，方程就不再是一元二次方程了，所以规定a≠0.一元二次方程一般的形式思考：为什么规定a≠0？根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列的方程化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；解：所列方程为______,化成一元二次方程的一般形式为

.4x2=254x2-25=0练一练（2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；解：所列方程为__________，化成一元二次方程的一般形式为___________。

x(x-2)=100x2-2x-100=0练一练（3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：所列方程为_________,化成一元二次方程的一般形式为___________.x=(1-x)2x2-3x+1=0练一练一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项,

a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。二次项、一次项和常数项例题例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：

4x(x+2)=25(3x-2)(x+1)=8x-3练一练(3)把化为一般形式为4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为

-25．4x(x+2)=25(4)把化为一般形式为3x2-7x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-7

，常数项为1．(3x-2)(x+1)=8x-3练一练(1)把化为一般形式为5x2-4x-1=0，二次项系数为5，一次项系数为-4

，常数项为-1．(2)把化为一般形式为

4c2-81=0，二次项系数为4，一次项系数0，常数项为-81．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解（根）下面那些数是方程x2-x-6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：因为-2和3能使方程x2-x-6=0的左右两边相等，所以-2和3是方程x2-x-6=0的根.练一练4、学习反思：_____________________________.1、等号两边都是____，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程，叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式是：______________.3、使方程____________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做_______________.四、归纳总结Thankyou!第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法解一元二次方程

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？创设情景明确目标这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？1．体会解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法解形如x

2＝p或

(mx

＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．学习目标探究点一

合作探究达成目标二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次

例1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？10×6x2=1500由此可得x2=25即x1=5，x2=－5可以验证，5和－5是方程①

的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程①合作探究达成目标等量关系：10个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积平方根的意义

小组讨论1形如x2=

p(p≥0)的方程可用什么方法求解？【针对练一】解得：【答案】

小组讨论2（2）对于常数p，为什么要限定条件p≥0？一般地，对于x2＝p当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即：当p＜0时，方程无实数根.当p=0时，方程有两个相等的实数根，即：探究点二

例2：解方程

【思考】①方程（1）与x

2=25这个方程有什么不同？可以直接开平方吗？②方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程(2)转化为方程（1）的形式？③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？小组讨论3

对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2的方程，可以用直接开平方发求解吗？1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，即：对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，得：2.若两边都是完全平方式，即：（ax+b）2=(cx+d)2，得【针对练二】5.方程（2x-1)2=(x

+2)2的解为：x1=3,x2=DD1/5D1.降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；降次的方法：直接开平方法；降次体现了：转化思想；2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.总结梳理内化目标达标检测反思目标可以

可以

可以

不可以

可以

达标检测反思目标2.3.4.

-1

-5

解：达标检测反思目标5.已知方程的一个根是,

求k的值和方程的另一个根。解：把代入得：解得：原方程为：所以方程的根为：即方程的另一个根为-1第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程一元二次方程根与系数的关系

创设情景明确目标1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．学习目标探究点一

一元二次方程的根与系数的关系的推导合作探究达成目标--1x1+x2=+==-x1x2=·===一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）推论1【针对训练1】-31D例1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积.合作探究达成目标探究点二一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式上有何区别？【小组讨论2】

(1)在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理？【针对训练2】AC4.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是（）A．－10

B．10C．－6D．25.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个根为：（）A.2B.3C.4D.8【针对训练2】C总结梳理内化目标达标检测反思目标D03-2第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第3课时公式法创设情景明确目标请用配方法解方程：x2-x-1=01．理解一元二次方程求根公式的推导．2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况．学习目标任何一元二次方程都可以写成一般形式你能否也用配方法得出①的解呢？二次项系数化为1，得配方即①②移项，得探究点一一元二次方程根的判别式的应用

因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac＞0时，所以方程有两个不相等的实数根由②式得当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac＜0时，方程没有实数根（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？（2）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？活动二：交流思考下面的问题：

当时，方程有两个不相等的实根；

当时，方程有两个相等的实根；

当时，方程没有实根.b2-

4ac＞0b2-

4ac=

0b2-

4ac＜0【小组讨论1】

一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么？【针对训练1】A2-11.（2015重庆）已知一元二次方程则该方程根的情况是()A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数

D．无实数根（2015青岛）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．时，将a，b，c代入式子探究点二

用公式法解一元二次方程

例2：用公式法解下列方程：探究点二

用公式法解一元二次方程

【小组讨论2】

用公式法解一元二次方程的前提条件是什么？【针对训练2】C(2)（2015大连）x2－6x－4=0.总结梳理内化目标达标检测反思目标AD4-3-5a≥-1解：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第4课时因式分解法

☞思考

根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01S）10x-4.9x2=0①

创设情景明确目标1、请用配方法或公式法求方程①的解；2、若将方程左边分解因式为：x(10-4.9x)=0，是否有比学过的两种方法更简便的解法呢？1．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程．学习目标于是得上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．

如果a·b=0那么a=0或b=0．探究点一

用因式分解法解一元二次方程

10x-4.9x2=0①

方程①的右边为0，左边可因式分解，得可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的方程？讨论①②当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:

方程左边易于分解,而右边等于零;2.理论依据是:“如果两个因式的积等于零,

那么至少有一个因式等于零”例:1

解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0;分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解;3.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.化方程为一般形式;【小组讨论1】

运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何处理？右化零左分解两因式各求解【针对训练1】D解：（2015重庆）一元二次方程x2－2x=0的根是()

A.x1=0，x2=－2B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=－2D.x1=0，x2=2探究点二选择恰当的方法解一元二次方程

思考：（1）哪种方法更简便？（2）因式分解法适合什么样的方程？例2：试用合适的方法解下列方程：【小组讨论2】

解一元二次方程的基本思路是什么？

有哪些方法可以达到这个目的？用公式法求解即可:若一边可以分解成两个因式乘积的形式,可以因式分解法解方程.【针对训练2】(5)(6)【答案】解一元二次方程的基本思路是将二次方程化为一次方程，即降次.使用的方法有配方法、公式法、因式分解法．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来求解.总结梳理内化目标达标检测反思目标BD3（x+12)(x+8)x1=-12,x2=-8解：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第2课时用配方法解一元二次方程

温故而知新1.解下列方程：(1)2x²=8(2)(x+3)²-25=0(3)9x²+6x+1=42.你能解这个方程吗？

x²+6x+4=0直接开平方法1．理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程．2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想．学习目标回顾与复习因式分解的完全平方式，你还记得吗?完全平方式填一填14它们之间有什么关系?1242(1)x²+10x+

=(x+

)²(2)x²-12x+

=(x-

)²(3)x²+5x+

=(x+

)²(4)x²-x+

=(x-

)²(5)4x²+4x+

=(2x+

)²6²55²61²1

移项两边加上32,使左边配成完全平方式左边写成完全平方的形式开平方变成了(x+h)2=k的形式想一想如何解方程？

以上解法中,为什么在方程两边加9?加其他数行吗?像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.这个方程怎样解？变形为的形式．（ａ为非负常数）变形为x2－8x＋1＝0(x－4)2=15x2-8x+16=-1+16活动一：

探究点一

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

（1）解答过程都有哪些步骤？（1）移项:把常数项移到方程的右边（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方（3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方（4）求解:解一元一次方程（5）定解:写出原方程的解用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:小组讨论1（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？

（2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？【针对练一】36642164

（2015随州）用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变形正确的是（

）A．(x－6)2=－4+36 B．(x－6)2=4+36 C．(x－3)2=－4+9 D．(x－3)2=4+9

D

解：探究点二配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

(1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？配方法解一元二次方程应注意些什么？小组讨论2

在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例1中的方程类型；解一元二次方程的基本思路

把原方程变为(x+n)2＝p的形式(其中n、p是常数）当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程二次方程一次方程当p<0时，原方程的解又如何？【针对练二】2-4-1解：总结梳理内化目标用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.达标检测反思目标DB正数解：第22章一元二次方程22.3实践与探索问题1学校生物小组有一块长32米，宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540平方米，小道的宽应是多少？

筑路解：设小道的宽为xm，根据题意得(32-x)(20-x)=540

解得

x1=2,x2=50，但x2不合题意，舍去答：小道的宽应为2m.

学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽.(精确到0.1厘米)

练习解：设镶上彩纸条的宽为xcm.由题意，得答：镶上彩纸条的宽为2.1厘