上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）已知3x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A.x3=5y B.x5=y3 C.xy=35 D.x3=y5已知∠A为锐角，且sinA=12，那么∠A等于（）A.15∘ B.30∘ C.45∘ D.60∘如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（）A.1：2 B.1：2 C.1：4 D.1：16Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠C所对的边分别为a、c，下列式子中，正确的是（）A.a=c⋅cotA B.a=c⋅tanA C.a=c⋅cosA D.a=c⋅sinA已知a、b和c都是非零向量，在下列选项中，不能判定a∥b的是（）A.a=2b B.a//c，b//c

C.|a|=|b| D.a=12c，b=2c如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA=55，那么点C的位置可以在（）A.点C1处 B.点C2处 C.点C3处 D.点C4处二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=______．计算：2（a-34b）+12b=______．如图，已知l1∥l2∥l3，若ABBC=23，EF=4，则DE=______．

在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=23，那么AC=______．如图：AB、CD相交于O，且∠A=∠C，若OA=3，OD=4，OB=2，则OC=______．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=2，BC=6，那么BD长是______．如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC=______．

已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边DC、BC的中点，AB=a，AD=b，那么MN关于a、b的分解式是______．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若S△ADE=2，S△CDE=3，则S△ADE：S△ABC=______．

如图，已知△ABC是等边三角形，点D是AB上一点，点E为BC上一点，∠CDE=60°，AD=3，BE=2，则△ABC的边长为______．

我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）计算：cos45°⋅tan45°−sin60°⋅cot60°cot45∘+2sin30∘．

如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且AE=3，AC=6，AD=2，AB=4．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若BC=5，求ED的长．

如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EF∥BD，AD=3AF，CF交BD于G，设AB=a，AD=b．

（1）用a、b表示：EF=______；

（2）在原图中作出向量FC分别在a、b方向上的分向量，并分别用a、b表示（写出结论，不要求写作法）．

FC在a方向上的分向量是______；FC在b方向上的分向量是______．

阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：如图1，已知在△ABC中，AB=10，AC=2，BC=2，求∠A的正切值．

小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的△BCD，从而使问题得以解决．

请利用小华的方法求∠A的正切值．

已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：

（1）△BCE∽△ADE；

（2）AB•BC=BD•BE．

如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的点，AD=AC，BE=EC．

（1）求证：△FCD∽△ABC；

（2）若AF=DF，BC=8，tan∠ACD=3，求ED的长．

如图，已知菱形ABCD，AB=2，点P是边AB延长线上一点，联结PC交AD延长线于点Q，联结BQ交CD于点E，联结PD交BC、BQ于点F、O，设BP=x，POOD=y．

（1）用含x的代数式表示DQ；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△FCD与△DCQ相似时，求y的值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、=，可以化成：xy=15，故此选项错误；

B、=，可以化成：3x=5y，故此选项正确；

C、=，可以化成：5x=3y，故此选项错误；

D、=，可以化成：5x=3y，故此选项错误．

故选：B．

直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．

此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．2.【答案】B

【解析】解：∵sinA=，∠A为锐角，

∴∠A=30°．

故选：B．

根据特殊角的三角函数值求解．

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3.【答案】B

【解析】解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，

∴它们的相似比==．

故选：B．

根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=，然后化简即可．

本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4.【答案】D

【解析】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，

∴A、cotA=，则a=，故本选项错误，

B、tanA=，则a=b•tanA，故本选项错误，

C、cosA=，则b=c•cosA，故本选项错误，

D、sinA=，则a=c•sinA，故本选项正确，

故选：D．

根据三角函数的定义分别分析得出答案．

此题考查了直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，正确把握边角关系是解题关键．5.【答案】C

【解析】解：A、由=2，可以推出∥．本选项不符合题意；

B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；

C、由||=||，不可以推出∥．本选项符合题意；

D、由=，=2，可以推出∥．本选项不符合题意；

故选：C．

根据平行向量的判定一一判断即可；

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D

【解析】解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．

∵AB=5，△ABC的面积为10，

∴CD=4．

∵sinA=，

∴AC=4，

∴AD==8，

∴点C在点C4处．

故选：D．

过点C作CD⊥直线AB于点D，由AB的长度结合△ABC的面积，可得出CD的长度，再由sinA=可得出AC的长度，利用勾股定理可求出AD的长度，进而可找出点C所在的位置．

本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，构造直角三角形，通过解直角三角形确定点C的位置是解题的关键．7.【答案】4

【解析】解：∵线段b是a、c的比例中项，

∴b2=ac=16，

解得b=±4，

又∵线段是正数，

∴b=4．

故答案为4．

根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求，注意线段的长为正数．

本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．8.【答案】2a-b

【解析】解：原式=2-+=2-，

故答案为2-．

根据平面向量的加法法则计算即可．

本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】83

【解析】解：∵l1∥l2∥l3，

∴==，即=，

解得，DE=，

故答案为：．

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算．

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．10.【答案】4

【解析】解：如图所示，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，

∴cosA==，

则AC=AB=×6=4，

故答案为：4．

利用锐角三角函数定义表示出cosA，把AB的长代入求出AC的长即可．

此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．11.【答案】32

【解析】解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，

∴△AOD∽△COB；

∴，即OC=，

又∵OA=3，OD=4，OB=2，

∴OC=

首先根据已知条件证△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的对应线段成比例求出OC的长．

此题主要考查了相似三角形的判定和性质．12.【答案】23

【解析】解：∵AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，

∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，

∴△ABD∽△DCB，

∴AD：BD=BD：BC，而AD=2，BC=6，

∴BD=2．

故答案为2．

如图，证明∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，得到△ABD∽△DCB，列出比例式即可解决问题．

该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是解题的基础和关键．13.【答案】1：3

【解析】解：延长BO交AC于D，

∵点O是△ABC的重心，

∴AD=DC，BO=2OD，

∴S△ADB=S△BDC=S△ABC，S△BOC=2S△ODC，

∴S△BOC=S△BDC，

∴S△BOC：S△ABC=1：3，

故答案为：1：3．

延长BO交AC于D，根据重心的性质得到AD=DC，BO=2OD，根据三角形的面积公式计算．

本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的面积计算，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．14.【答案】12a−12b

【解析】解：如图：

连接BD，

∵点M、N分别是边DC、BC的中点，

∴MN=BD，即，

∵，

又∵，，

∴=（）=-．

故答案为：-．

首先由点M、N分别是边DC、BC的中点，可以得到MN=BD，又由，代入数值即可求得结果．

此题考查向量的知识．注意向量是有方向的．15.【答案】4：25

【解析】解：∵△ADE的边AE上的高和△CDE的边CE上的高相等，

又∵S△ADE=2，S△CDE=3，

∴=，

∵DE∥BC，

∴=，

∴S△ADE：S△ABC=（）2=．

故答案为：4：25．

先求出AE：AC，再运用三角形的面积之比等于相似三角形的对应边的平方比求解即可．

本题主要考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积之比等于相似三角形的对应边的平方比．16.【答案】9

【解析】解：设AC=x，

∵△ABC是等边三角形，且AD=3，

∴BD=x-3，∠A=∠B=60°，

∴∠ACD+∠ADC=120°，

∵∠CDE=60°，

∴∠ADC+∠BDE=120°，

∴∠ACD=∠BDE，

∴△ACD∽△BDE，

∴=，即=，

解得：x=9，即△ABC的边长为9，

故答案为：9．

设AC=x，依据等边三角形的性质知BD=x-3，∠A=∠B=60°，∠ACD+∠ADC=120°，由∠CDE=60°知∠ADC+∠BDE=120°，从而得∠ACD=∠BDE，据此可证△ACD∽△BDE得=，代入计算即可．

本题主要考相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质与相似三角形的判定与性质．17.【答案】2或1

【解析】解：设最小角为x，则最大角为x+45°，

当顶点为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=×2×2=2；

当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，

作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，

∴CD=AC=1，

∴三角形ABC的面积=CD•AB=×1×2=1，

综上所述，该三角形的面积等于1或2．

故答案为1或2．

根据新定理，设最小角为x，则最大角为x+45°，再分类讨论：当顶点为x+45°时，根据三角形内角和可求得x=45°，则可判断此三角形为等腰直角三角形，易得此三角形的面积=2；当顶点为x时，根据三角形内角和定理可求得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，利用∠A=30°可得CD=AC=1，则根据三角形面积公式计算出三角形ABC的面积=CD•AB=1，综上所述，该三角形的面积等于1或2．

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．18.【答案】256或5013

【解析】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，

∵DE是△ABC中位线，

∴DE∥BC，DE=BC=10，

∵DN′∥EF，

∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，

∴四边形DEFN′是矩形，

∴EF=DN′，DE=FN′=10，

∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∴BN′=DN′=EF=FC=5，

∴=，

∴=，

∴DO′=．

当∠MON=90°时，

∵△DOE∽△EFM，

∴=，

∵EM==13，

∴DO=，

故答案为或．

分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据=计算即可

②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=计算即可．

本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=22×1−32×331+1

=22−122

=2−14．

【解析】

直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】证明：（1）∵AE=3，AC=6，AD=2，AB=4，

∴ADAB=12，AEAC=12，

∴ADAB=AEAC，

∴DE∥BC；

（2）∵DE∥BC，

∴△EAD∽△CAB，

∴EDBC=AEAC，

∵BC=5，

∴ED5=12，

∴ED=2.5．

【解析】

（1）根据平行线分线段成比例证明即可；

（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质求出即可．

本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键．21.【答案】13b-13a

a

23b

【解析】解：（1）∵EF∥BD，

∴==，

∵=，=，

∴=，AE=，

∵=+，

∴=-．

故答案为-．

（2）作FH⊥BC于H．

向量分别在、方向上的分向量分别为=，=．

故答案为，．

（1））由EF∥BD，推出==，由=，=，推出=，AE=，由=+，可得结论；

（2）作FH⊥BC于H．向量分别在、方向上的分向量分别为=，=；

本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：∵AC=2，BC=2，

∴ACBC=22，

∵BC=2，CD=22，

∴BCCD=22，

∴ACBC=BCCD，

∵∠BCA=∠DCB，

∴△ABC∽△BCD，

∴∠BAC=∠DBC，

∵tan∠DBC=24=12，

∴tan∠BAC=12．

【解析】

通过三边对应成比例，两三角形相似得到△ABC∽△DFE，于是得到结论；

本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，外角的性质，找准相似三角形是解题的关键．23.【答案】证明：（1）∵AD=DC，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC2=DE•DB，

∴DCED=DBDC，∵∠CDE=∠BDC，

∴△CDE∽△BDC，

∴∠DCE=∠DBC，

∴∠DAE=∠EBC，

∵∠AED=∠BEC，

∴△BCE∽△ADE，

（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC

∴AD2=DE•DB，

同法可得△ADE∽△BDA，

∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，

∵△BCE∽△ADE，

∴∠ADE=∠BCE，

∴△BCE∽△BDA，

∴BCBD=BEAB，

∴AB•BC=BD•BE．

【解析】

（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．

（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．

本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24.【答案】证明：（1）∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∵BE=EC，

∴∠B=∠ECD，

∴△FCD∽△ABC；

（2）∵△FCD∽△ABC，

∴FDAC=CDBC，

∵AF=DF，AD=AC，

∴DFAC=12

∴CDBC=12，

∵BC=8，

∴BD=CD=4，

∵BE=EC，

∴BD⊥BC，

过点A作AH⊥BC，垂足为H，

∵AD=AC，

∴HC=12CD=2，

在Rt△AHC中，∵tan∠ACD=3，

∴tan∠ACD=AHHC=3，

∴AH=6，

∵∠BDE=∠AHB=90°，

∴ED∥AH，

∴EDAH=BDBH，

∴ED6=46，

解得：DE=4．

【解析】

（1）证明∠B=∠ECD；证明∠ADC=∠ACD，即可解决问题．