基于对LC网络模拟的高阶有源RC滤波器的分析与设计放映课件

现代电路理论与设计第４章

基于对LC网络模拟的高阶

有源RC滤波器的分析与设计引言

设计高阶有源滤波器的基本方法是基于对LC网络模拟的设计方法。本章主要讨论基于对双端接电阻的LC梯形网络模拟的高阶有源滤波器的设计法。这是一种以无源LC梯形网络为基础来设计有源RC滤波器和其他有源滤波器的最基本的方法。主要包括对LC梯形网络工作的模拟和对LC梯形网络元件的模拟两种方法。双端接电阻或双端接载的LC梯形网络从信号源到负载传输的功率最大时，网络具有很低的灵敏度。所以用基于对LC梯形网络模拟的方法设计出的有源滤波器也具有比较低的灵敏度。电路理论与设计引言

在LC梯形网络中，电感元件和电容元件的v-i关系是积分和微分关系。这些关系可以利用含有积分器的有源RC电路来模拟实现。另外，根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律描述的LC梯形网络的回路电压关系和节点电流关系也可以用有源电路组成的相加器来模拟实现。

因此，用基于对LC梯形网络工作模拟的方法设计出来的滤波器是由有源积分器和相加器组成的有源RC滤波器。我们把这样的设计方法称为基于对LC梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的设计法。引言电路理论与设计引言电路理论与设计引言（2）基于对LC梯形网络元件模拟的设计法基于对LC梯形网络元件模拟的设计方法是利用具有电感性输入阻抗的有源RC电路替换原型LC梯形网络中的电感元件L，从而实现有源RC滤波器的一种设计方法。这种方法也称为元件模拟法或电感替换法。用有源电路替代无源电路的一个主要目的是实现电路的微型化和集成化。电感元件是实现电路集成化的一个主要障碍。它的体积比较大，而且非线性比较严重。因此，用有源RC电路替换电感具有非常重要的意义。而且用这种方法设计有源RC电路的原理非常简单，设计过程非常直观。（3）级联设计法实现高阶有源滤波器的最直接和最简单的方法是级联设计法。这就是把前面所讨论的一阶滤波器、二阶滤波器通过直接级联的方法组成高阶滤波器。实现一个n阶滤波器，当n为偶数时，需要将n/2个二阶滤波器级联。当n为奇数时，需要将（n-1）/2个二阶滤波器和1个一阶滤波器级联。电路理论与设计引言4.1全极点低通滤波器的分析与设计电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

本节以全极点低通滤波器的设计为例，说明基于对LC梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的设计方法和设计步骤。在下面的讨论中，用小写字母表示原型LC梯形网络中的电压、电流和元件值，用大写字母表示由模拟法得到的有源RC梯形网络中的电压、电流和元件值。一个双端接电阻的五阶LC梯形网络如下图所示。其中的元件值可以通过滤波器设计手册或计算机辅助设计程序求得，也可以用人工方法求得。4.1全极点低通滤波器的分析与设计电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

vic3rSl2l4c5+-vo-+rLc1c3rSl2l4c5vo-+rLc1

因此，LC梯形网络中的电容电压和电感电流通过模拟都会以积分器输出电压的形式出现在有源电路中，其他所有的电压和电流都不会直接出现在有源电路中。这就是说，所列的N个方程必须只包含电容电压和电感电流以及输入电压。其他的变量必须通过节点电压方程或节点电流方程的关系消去。这样，必须选取电容电压和电感电流作为LC梯形网络的变量。对上图所示的电路，就要选取v1、i2、v3、i4、v5为电路变量。下面以上图为例，说明列写方程的具体方法和步骤。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

如图所示是一个五阶LC梯形网络，需要列写五个工作方程。首先列写梯形网络中第一个元件c1的工作方程，即描述c1的电压电流关系的方程。为了便于列写电容c1上端节点的节点方程，将图中的电压源转换为电流源。于是得到c1的电压电流关系为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

因为变量i1不是我们所选取的电路变量，它不应该出现在最终的方程中，可以通过该节点的电流关系消去不必要的电流变量i1。该节点的电流关系为：消去变量i1得：该式描述了电容c1和端接电阻rs在电路中的工作关系，而且只包含了所允许的变量。所以该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第一个方程。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

下面列写梯形网络中第二个元件l2的工作方程。它的电压电流关系为：其中v2不是我们所需要的变量。可以通过包含l2的回路方程而消去这个变量。该回路的回路电压方程为：消去变量v2，得：

该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第二个方程。c3rSl2l4c5vo-+rLc1电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

用同样的方法，可以对电容c3、l4和c5列出符合要求的方程为：上述各式组成的方程组完全描述了LC梯形网络的工作过程。这些方程中的变量只包含了电容电压、电感电流和输入电压，所以适合于用有源RC积分器和相加器来模拟实现。几个方程中的分子项可以用相加器来实现，相加器的输出就是为积分器的输入。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

方框图具有以下规律：（1）该框图主要由积分器和相加器组成。共包括五个积分器，每个积分器代表一个元件的工作方程。一般地说，N阶LC梯形网络的方框图有N个积分器，组成（N-1）个双积分回路；（2）各积分器输出端的朝向是上下交替的。其中，用来模拟电容工作的积分器输出端朝下，而用来模拟电感工作的积分器输出端是朝上的。（3）第一个和最后一个积分器是阻尼积分器，阻尼电阻分别是LC网络的端接电阻rs和rL。其余积分器是无阻尼积分器。而这些积分器可以用有源积分器实现。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

积分器用有源电路实现时，反相积分器的电路比较简单，而同相积分器的实现则需要在反相积分器的后面再加一级反相器，因而要比反相积分器多一个运算放大器。为了减少运放的个数，应尽量少用同相积分器。上图的五个积分器都是同相积分器。为了尽量多采用反相积分器，需要在不改变电路转移函数的条件下，对LC梯形网络工作过程的方程式进行一些变形。为此，必须改画方框图。例如，为了能够使第一、三、五个积分器是反相积分器，使第二、四个积分器是同相积分器，可将上述五个方程变为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

根据调整以后的这五个方程，得到的电路方框图如所示。方框图中的相加器可以用独立的有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。∑vo∑∑∑∑∑∑∑电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

3.实现电路画出方框图以后，还要将该方框图用实际的电路去实现。方框图中的相加器可以用独立的有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。反相积分器和同相积分器的实现电路分别如下图所示。CRCRR1R1电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

从上面的方程可以得到各变量的对应关系如下：有源电路的元件值可以通过下面的关系确定：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

采用上述元件值实现的有源电路的转移函数V5/Vi与原型LC梯形网络的转移函数v5/vi相同。但是，上述元件值不是唯一的，而且往往是不实际的。比如，有时候元件值可能太大，有时候元件值可能太小。所以要对元件值进行定标。另外，为了使所实现的有源RC电路的动态范围为最大，还要对电路进行所谓的动态范围定标。这方面的具体做法和无源网络的定标方法是一样的。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

例4.1设满足要求的归一化三阶无源低通滤波器的电路如图所示。若滤波器的通带边界(3dB频率)为ωc=104rad/s，用基于对LC梯形网络工作模拟的设计法设计相应的有源RC滤波器。解：下图所示电路是归一化的，因而其通带边界是1rad/s，端接电阻rs=rl=1Ω。查表可得电路的元件值为：c1=c3=1F，l2=2H。因所设计的滤波器的通带边界为ωc=104rad/s，故需对上述元件值进行频率去归一，即对原来的元件值都除以ωc＝104。频率去归一后通带边界为ωc=104rad/s的三阶无源低通滤波器的元件值为：c1=c3=1×10－4F，l2=2×10－4H，rs=rl=1Ω。电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

下面用模拟LC梯形网络工作过程的方法设计和它对应的有源RC滤波器。（1）列写LC梯形网络的工作方程选取v1、i2、v3为电路变量，可得到LC梯形网络的工作方程为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

（2）画LC滤波器的框图根据上述方程可以得到下图(a)所示LC滤波器的框图如下图(b)所示。可见，该电路可以用三个积分器实现。第一个和最后一个积分器是反相阻尼积分器。（3）将LC滤波器用有源RC电路实现下图(b)所示的框图可用有源RC电路实现，见下图(c)，设电路的增益k=1，G可选任意值。图中各元件值为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

rSl2vic3+-vo-+rLc1i2-vo∑∑(a)(c)(b)电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

例4.2用对LC梯形网络工作模拟的设计法设计一个五阶1dB波纹的Chebyshev有源RC滤波器，滤波器的截止频率fc=10kHz。解：（1）设计符合要求的无源滤波器五阶1dB波纹的ChebyshevLC低通滤波器如下图所示，查表得归一化元件值为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

若滤波器的截止频率fc=10kHz，负载电阻rs=rl=1kΩ，则去归一化以后的元件值为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

（2）列无源滤波器的状态方程选电容电压v1(s)、v３(s)、v5(s)和电感电流i2(s)、i４(s)作为状态变量。列出上图所示无源滤波器的状态方程：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

（3）画电路框图根据状态方程画出无源滤波器的电容电压和电感电流间运算关系的方框图如下图所示。图中，每一个状态方程对应一个虚线圈定的电路框图。GS∑∑∑∑电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

（4）实现电路将方框图用基本单元电路实现，如下图所示。图中，每部分电路框图对应一部分电路。若电路中所有电阻值均取1kΩ，则图中所示电路中的各电容值为：电路理论与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计

GS∑∑∑∑4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

具有有限的传输零点的五阶低通滤波器如下图所示。该网络与全极点LC梯形网络的不同之处就在于并联电容c2和c4。如果我们能设法将这两个并联电容改为一端接地的电容，从而消去这两个并联电容，则具有有限传输零点的滤波器的设计方法与前面研究的全极点滤波器的设计方法完全相同。l2l4vovic3rSc5+--+rLc1c2c44.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

消去并联电容为了将上图中的两个并联电容c2和c4改为一端接地的电容，从而消去这两个并联电容，就需要将这两个电容用它的等效电路代替。为此，需要研究这两个电容的工作情况。从上图看，电容c2的A端接电压v1，它的B端接电压v3。因此，如果要将电容c2从B端断开而改接到接地端，则需要在电容c2与地之间加接一个电压源v3。同样，如果要将电容c2从A端断开而改接到接地端，则需要在电容c2与地之间加接一个电压源v1。这说明，要将一个并联电容变成非并联的形式，就需要用两个同样的电容和两个电压源来代替。对并联电容c4的分析方法与对c2的分析方法相同。于是得到其等效电路如下图所示。电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

l4l2c3c5+-+rL-将图中的电压源v1、v3和v5转换成电流源、将并联电容合并以后的电路如示。注意，图中电压源v3和电容c2串联的支路在转换成电流源的过程中产生了sc2v3项，它代表一个受控源，是一个电压控制电流源。同样，电压源v1和电容c2串联的电路在转换成电流源的过程中产生了sc2v1项，它也是一个电压控制电流源。受控源sc4v5和sc4v3也是这样产生的。电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

l2l4-+rL该图所示的网络结构中除了四个受控源sc2v3、sc2v1、sc4v5和sc4v3以外，与全极点滤波器的网络结构相同。正是这四个受控源实现了滤波器的有限传输零点。受控源可以很容易地通过运算放大器实现。电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

2.列写工作方程列写方程的步骤和方法与全极点滤波器的相同。其方程为：电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

3.用有源RC电路实现上面的方程与全极点网络的方程相似，所不同的就是方程中多了一些含受控电流源sc2v3、sc2v1、sc4v5和sc4v3的项。这些电流源既然代表一个电流，就可以通过在网络的相应节点之间连接一个电容来实现。有源RC实现电路如下图所示。例如，受控电流源sc2v3是通过在网络的第三个积分器的输出端（其电压为v3）和第一个积分器的虚地之间连接一个电容c2（图中C13=c2）来实现的。受控源sc2v1是通过在网络的第一个积分器的输出端（其电压为v1）和第三个积分器的虚地之间连接一个电容c2（C31=c2）来实现的。电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

4.求元件值描述上图电路的方程如下：电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

有源电路的元件值如下：将各式进行比较，可以得到各电路变量的对应关系如下：电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

例4.3设满足要求的归一化三阶无源低通滤波器的电路如下图所示。若滤波器的通带边界(3dB频率)为ωc=104rad/s，用基于对LC梯形网络工作模拟的设计法设计相应的有源RC滤波器。vic3rS+-vo-

+rLc1电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

解：这是一个三阶椭圆低通滤波器。查表可得归一化三阶无源低通滤波器的一组元件参数为：c1=c3=0.9897F，c2=0.0529F，l2=1.0869H。因为所设计的滤波器的通带边界为ωc=104rad/s，故需要对上述元件值进行频率去归一。具体方法是对原来归一化三阶无源低通滤波器的元件值都除以ωc=104。进行频率去归一以后通带边界为ωc=104rad/s的三阶椭圆低通滤波器的元件值为：c1=c3=0.9897×10－4F，c2=0.0529×10－4F，l2=1.0869×10－4H，rs=rl=1Ω。电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

下面用模拟LC梯形网络工作过程的方法设计该电路。（1）求等效电路为了便于列写上图所示LC梯形网络的工作方程，将上图中的两个并联电容c2用它的等效电路代替，得到的等效电路如下图所示。l2c3+-+rL-电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

将上图中的电压源v1和v3转换成电流源同时将并联电容合并，得到的等效电路如下图所示。l2-+rl电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

（2）列写LC梯形网络的工作方程在上图的等效电路中，选取v1、i2、v3为电路变量，可得到它的工作方程为：电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

（3）将LC滤波器用有源RC电路实现根据上述方程，可以将该LC滤波器用有源RC电路实现，如下图所示。设电路的增益k=1，则图中各元件值为：电路理论与设计4.2具有有限传输零点的低通滤波器的分析与设计

图中，G可选任意值。4.3双积分回路二阶滤波器的分析与设计电路理论与设计4.3双积分回路二阶滤波器的分析与设计

将前面所介绍的对RLC无源梯形网络工作模拟的方法应用到二阶RLC谐振电路中，就可以得到双二次型二阶有源RC滤波器。这是得到双二次有源RC电路最常用的方法。这样得到的电路由一个反相积分器和一个同相积分器组成反馈回路，因此称为双积分回路二阶电路。一般，双积分回路二阶电路除了需要两个积分器以外还需要一个相加器，因此这种电路通常由三个运算放大器组成。采用三个运算放大器实现的双二次滤波电路比前面讲过的采用一个运算放大器的电路有很多优越性。主要是：灵敏度低，Q值高，灵活性大，容易调整。4.3双积分回路二阶滤波器的分析与设计电路理论与设计4.3.1二阶RLC谐振器为了得到双二次型二阶有源RC滤波器的结构，首先研究下图所示的由RLC并联谐振电路构成的带通滤波器。l+--+ci24.3.1二阶RLC谐振器电路理论与设计4.3.1二阶RLC谐振器其转移函数为：其中，l+--+ci2电路理论与设计4.3.1二阶RLC谐振器由上式可得到电路的设计方程为：由于电感中的电流于是如果以电流i2(s)作为输出，则转移函数是一个低通函数。即l+--+ci21.TT电路的实现为了用有源RC电路实现上图所示电路的功能，需要对图中所示的RLC谐振电路的工作特性进行模拟。该电路中电容和电感的工作方程如下：该式是描述电容电压工作特性的方程，可以用一个反相阻尼积分器来模拟它的工作。电路理论与设计4.3.2TT滤波器4.3.2TT滤波器l+--+ci2该式是一个描述电感电流工作特性的方程，可以用一个同相积分器来模拟它的工作。l+--+ci2电路理论与设计4.3.2TT滤波器由此得到的实现电路如下图所示

电路理论与设计4.3.2TT滤波器图中电路的方程为：则上图所示双积分回路电路和RLC谐振电路变量的对应关系如下：若所有的电阻都相等，上图电路的元件值如下：电路中与反相器有关的导纳G为任意值。电路理论与设计4.3.2TT滤波器上图的电路从V1处输出是一个带通滤波器。其带通转移函数V1(s)/Vi(s)为：它的中心频率ω0和Q值分别为：中心频率ω0处的增益为：电路理论与设计4.3.2TT滤波器上图的电路从V2处输出时是一个低通滤波器。其低通转移函数V2(s)/Vi(s)为：它的极点频率ω0和Q值与带通滤波器相同，极点频率ω0处的增益为：电路理论与设计4.3.2TT滤波器上图所示的电路称为Two-Thomas双二次型电路，简称TT电路。其优点是由于三个运放均有一端是接地的，所以不存在共模信号干扰的问题。另外，每个运放都有一个虚地端，可以方便地实现相加运算。这在实现除低通以外的滤波函数时是很必要的。电路理论与设计4.3.2TT滤波器例4.4RLC谐振电路和由它产生的双积分回路Two-Thomas双二次型电路分别如上图所示。若要求两个电路的极点频率均为fp=1kHz，极点Q值为Q=10。求两个电路的元件值。解：（1）设计RLC谐振电路可求得RLC谐振电路的元件值为电路理论与设计4.3.2TT滤波器（2）设计Two-Thomas电路若取所有的电阻都相等，可求得Two-Thomas电路的元件值为：与反相器有关的电导G可取任意方便的值，例如1S。电路理论与设计4.3.2TT滤波器例4.5双积分回路Two-Thomas电路如上图所示。设计该电路使其能够实现最大平坦低通转移函数，其3dB频率为104rad/s，直流增益等于10。所有的电容选1nF。解：与例4.4不同，本题目要求所有的电容都相等，且选C=1nF。即各电容的容量为C11=C22=C=1nF。题目还要求电路能够实现最大平坦低通转移函数，而最大平坦低通转移函数在3dB频率处的Q值等于。电路理论与设计4.3.2TT滤波器。

根据上述内容以及本题目的已知条件，有：由以上三式可以求得：与反相器有关的电导G可取任意方便的值，例如1mS。电路理论与设计4.3.2TT滤波器。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器基于对RLC谐振电路模拟的方法前面讨论的电路同时实现了低通和带通滤波功能。下面讨论的KHN电路能同时实现低通、带通和高通滤波功能。仍然采用对RLC谐振电路工作模拟的方法进行讨论。右图是一个能同时实现低通、带通和高通滤波功能的RLC串连电路。4.3.3KHN滤波器。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器由于是一个串连谐振电路，若取回路电流作为输出时，可实现带通滤波函数。即其中，。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器若取电感电压作为输出时，可实现高通滤波函数。即若取电容电压v3(s)作为输出时，可实现低通滤波函数。即。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器下面通过对上图电路工作过程的模拟，实现有源RC滤波电路。选v1、i2和v3作为电路的变量，描述该电路工作的两个积分方程是：上述每一个方程都可以用一个积分器实现。从上图可以看出，第一个积分器的输入信号v1可以由两个积分器的输出i2和v3以及输入信号vi获得。即电路理论与设计4.3.3KHN滤波器上述方程可以用如下所示的有源RC电路实现。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器该电路的工作过程可由下列方程描述：

比较可得到各变量的对应关系如下：电路理论与设计4.3.3KHN滤波器上图所示电路称为Kerwin-Huelsman-Newcomb双二次电路，简称KHN电路，也称为状态变量双二次电路。该电路从V1端输出时是一个高通滤波器，从V2端输出时是一个带通滤波器，从V3端输出时是一个低通滤波器。电路实现的转移函数分别为：电路理论与设计4.3.3KHN滤波器电路理论与设计4.3.3KHN滤波器各滤波电路的极点频率和Q值都相同，分别为：

各滤波电路的增益分别为：电路理论与设计4.3.3KHN滤波器2.基于对转移函数模拟的方法获得二阶滤波器电路的另一种方法就是基于对转移函数模拟的方法。这种方法通过改变所要实现的转移函数的表达形式，将它们表示成积分器和相加器的函数形式，然后用积分器和相加器等基本电路来实现。下面以KHN电路为例叙述这种方法。设二阶高通滤波器的转移函数为：电路理论与设计4.3.3KHN滤波器上式可表示为：两端除以s2得：对应于该式的信号框图如下所示

+电路理论与设计4.3.3KHN滤波器在上图所示的框图中，两个积分器都是同相积分器。我们知道，一个同相积分器需要两个运算放大器实现。因此，为了减少运算放大器的个数从而使电路尽量简单，我们需要将上图所示框图中的同相积分器变成反相积分器。变化以后的电路框图如下所示。+电路理论与设计4.3.3KHN滤波器为了说明各电压的对应关系，将该电路重绘于下图所示。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器KHN电路的优点是能同时实现低通、带通和高通三个滤波功能。因此，该电路称为通用有源滤波电路。KHN电路的缺点是，第一个运放作为差动放大器实现相加运算，而该运放没有任何一个输入端是接地的。这就使得这个运放对共模信号很敏感。另外，由于这个运放输入端没有虚地，因此不便实现具有有限传输零点的二阶转移函数。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器3.KHN电路的设计方法从前面的研究可以看出，KHN电路由6个电阻和2个电容组成。要设计该电路需要确定8个电路元件值。而我们设计所依据的方程只有各滤波电路的极点频率ω0、Q值和相关的增益表达式共3个方程。因此，对KHN电路的设计需要一定的技巧。通常采取以下方法，使设计比较简便：(1)选R5=R6，且为任意方便合理的值；(2)选取两个积分器的时间常数相等，即R1C1=R2C2。为了方便，常选R1=R2=R。并选C1=C2=C为任意方便合理的值。电路理论与设计4.3.3KHN滤波器例4.6KHN电路如上图所示。设计该电路使其能够实现高通滤波功能，其3dB频率为10kHz，Q=2，高频增益等于1。所有的电容选都等于1nF，输入电阻R3=10kΩ。解：选R1=R2=R，并选C1=C2=C＝1nF。已知3dB频率为10kHz，则：从而求得电路理论与设计4.3.3KHN滤波器选R5=R6，已知KH=1可得：从而求得设计完毕。电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

具有有限传输零点的滤波函数如带阻函数和全通函数可以通过两种方法实现：（1）在KHN电路中加入相加器实现。（2）用TT电路加反馈实现。下面分别加以讨论。4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

1.在KHN电路中加入相加器实现在KHN电路的后面再插入一个如下图所示的相加器。电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

实现对高通(HP)、带通(BP)和低通(LP)函数的加权相加，如下图所示。电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

该相加器的输出为：将VHP、VBP和VLP，代入得：

电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

该电路可以实现各种滤波功能：若令GB=GH=0，可以实现低通滤波函数；若令GB=GL=0，可以实现高通滤波函数；若令GH=GL=0，可以实现带通滤波函数。除此之外，若令GB=0，可以实现陷波函数。即陷波频率为：高频增益为：电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

令GL=GH，GB=GH/Q，则可以实现全通滤波函数。即全通滤波器的增益为：电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

2.用TT电路加反馈实现具有有限传输零点的滤波函数用TT电路加反馈也可以实现具有有限传输零点的滤波函数。其电路如下图所示。电路理论与设计

4.3.4具有有限传输零点的二阶滤波器

上图中，输入电压Vi接到三个运放的虚地输入端，输出电压Vo从阻尼积分器的输出端取出。其转移函数为：

从式中可以看出，上图是一个通用二阶滤波器电路。它能实现低通、高通、带通、带阻和全通各种滤波功能。当C1=0，G1=G3=0时，该电路实现低通滤波功能；当G1=G2=G3=0时，该电路实现高通滤波功能；当C1=0，G1=G2=0时，该电路实现带通滤波功能；当G1=G3=0时，该电路可实现带阻滤波功能；当G1=0时，该电路可实现全通滤波功能。4.4高阶带通滤波器的分析与设计电路理论与设计

4.4高阶带通滤波器的分析与设计4.4高阶带通滤波器的分析与设计下面用模拟LC网络工作过程的方法来设计高阶有源RC带通滤波器。其主要步骤是：（1）设计符合滤波要求的LC梯形低通滤波器；（2）将符合滤波要求的LC无源低通滤波器转换成为无源带通滤波器；（3）用前面学过的模拟LC滤波器工作的方法将无源带通滤波器用有源RC电路实现。这样得到的带通滤波器是对中心频率对称的滤波函数，所以具有广泛的用途。注意，由于LC低通滤波器转换成为带通滤波器时，滤波函数的阶次增大一倍，因此，所选用的原型LC低通滤波器的阶次应该是所设计的高通滤波器的阶次的1/2。电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

下面以一个六阶带通滤波器为例，说明不具有有限传输零点的带通滤波器的设计方法和步骤。1.选无源滤波器由于LC低通滤波器转换成为带通滤波器时，滤波函数的阶次增大一倍，因此，为了设计一个六阶带通滤波器，所选用的原型LC低通滤波器应该三阶的。设满足要求的三阶LC无源低通滤波器的电路如下图所示。该电路是归一化的，因而其通带边界是1rad/s，端接电阻rs=rL=1Ω。4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

virSl2c3+-vo-+rLc1用模拟LC网络工作过程的方法得到三阶LC无源低通滤波器的框图如下图所示。v3∑∑电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

可见，该电路可以用三个积分器实现。第一个和最后一个积分器是阻尼积分器。其有源RC实现电路如下图所示。图中各元件值与上图中各元件值的关系如下：图中的C和G可以取任意方便的值。电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

2.进行频率变换对上图所示的低通电路框图中的每一个积分器按下式进行低通到高通的频率变换。其中，s代表原低通电路的复频率变量，p代表变换以后的带通电路的复频率变量。ω0和B分别是带通电路的中心频率和带宽。电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

对第一个积分器进行变换以后得到的二阶电路的转移函数为：显然，这是一个中心频率为ω0、Q值为(ω0c1rs)/B的二阶带通滤波函数。第二个积分器变换为中心频率为ω0、Q值为无穷大的二阶带通滤波函数。其转移函数为：电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

第三个积分器变换为中心频率为ω0、Q值为(ω0c3rl)/B的二阶带通滤波函数。其转移函数为：

在上述变换中，阻尼积分器变换为一个Q值为有限的二阶带通电路，而无阻尼的积分器变换为一个Q值为无限大的二阶带通电路。上图所示的三阶低通滤波电路框图经过变换后得到的六阶带通滤波电路框图以及该电路所实现的滤波器的幅频特性分别如下图所示。可见，其传输零点在原点和无穷大频率处，没有有限的传输零点。电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

∑∑电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

由上图可以看出，这个六阶带通滤波器由三个双二次型带通滤波电路组成。如果选用TT电路作为基本的双二次带通电路，其实现电路如下图所示。所有的双二次型电路的极点频率都等于带通滤波器的中心频率。第一个和最后一个双二次电路的Q值是有限的，中间的一个双二次电路的Q值是无限的。图中各元件值与上图中各元件值的关系为：电路理论与设计4.4.1不具有有限传输零点的带通滤波器

图中的C和g可以取任意方便的值，G=ω0，B是带通滤波器的带宽。所构成的六阶带通滤波器中心频率处的增益等于低通原型电路的直流增益。即电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

具有有限传输零点的带通滤波器具有广泛的用途。这种滤波器的设计也可以采用对无源RLC梯形网络工作模拟的方法来实现。1.选无源梯形网络具有有限传输零点的带通滤波器可以由下图的具有有限传输零点的低通原型电路转换而来。该电路是一个双端接电阻的三阶低通滤波器，其中l2和c2的并联电路实现了有限频率处的传输零点。c3+-vo-+rLc1c24.4.2具有有限传输零点的带通滤波器电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

采用前面学过的方法，将上图的并联电容c2用与其等效的受控电流源和串联电容的电路替换，得到下图所示的电路。l2c3+-+rL-电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

将并联电容合并以后得到的电路如下图所示。l2-

+rL用模拟无源网络工作特性的方法得到该电路的框图参见下图。电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

∑∑∑由上图可见，除了三个积分器以外，该框图还包括了两个转移函数为sc2的交叉耦合的方框，它们实现了无源低通电路的有限传输零点。电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

2.进行频率变换对上图所示电路框图中的各转移函数按下式进行低通到带通的频率变换：变换得到的电路框图如右图所示。∑∑∑电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

相应的传输特性如下图所示。该电路经变换以后实现了无源带通电路的有限传输零点。电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

3.电路的实现与全极点带通滤波器的设计相同，若选TT电路为基本的双二次电路，则实现电路如下图所示。电路理论与设计4.4.2具有有限传输零点的带通滤波器

上述图中各元件值对应关系为：图中的C和g可以取任意方便的值，G=ω0，B是带通滤波器的带宽。4.5基于对LC梯形网络元件模拟的有源RC滤波器的分析与设计电路理论与设计4.5基于对LC梯形网络元件模拟的有源RC滤波器的分析与设计4.5基于对LC梯形网络元件模拟的有源RC滤波器的分析与设计设计有源RC滤波器的另一种方法是直接将无源LC梯形网络中的电感元件用具有感性输入阻抗的有源RC电路替换。这种设计方法称为基于对无源LC梯形网络元件模拟的有源RC滤波器的设计法，或简称元件模拟法。在这种设计中，常用到阻抗变换器。电路理论与设计4.5.1通用阻抗变换器4.5.1通用阻抗变换器利用阻抗变换器能够实现阻抗的变换。通用阻抗变换器的电路如下图所示。该电路连接的特点是：(1)电路中的有源器件是两个运算放大器；(2)两个运算放大器的反相输入端连接在一起；(3)第一个运算放大器的同相输入端接输入信号Vi(s)，第二个运算放大器的同相输入端接负载Z5；(4)两个运算放大器的输出电压分别反馈到另一个运算放大器的输入端；(5)电路中的无源元件是五个串联阻抗。(6)我们关心的就是从输入端向右边看进去所显示的阻抗Zi=Vi(s)/Ii(s)的性质。电路理论与设计4.5.1通用阻抗变换器③⑤①④②设运算放大器为理想的。对图中各节点列出方程如下：对节点①③⑤有：

电路理论与设计4.5.1通用阻抗变换器对节点①列方程：

对节点③列方程：

对节点⑤列方程：求解这些方程得到该变换器的输入阻抗为：由上式可以看出，适当改变串接在电路中的5个阻抗元件Z1、Z2、Z3、Z4、Z5的性质，就可使整个电路显示的等效阻抗Zi=Vi(s)/Ii(s)的性质发生变化，从而得到不同性质的输入阻抗。该作用称为阻抗变换作用。该电路称为通用阻抗变换器。显然，该输入阻抗是一个电感。如下图中所示有一端是接地的，所以这样实现的电感是接地仿真电感。其等效电感为如果将阻抗Z2选为电容即Z2=1/sC2，其余阻抗选为电阻即Zi=Ri(i=1,3,4,5)，则输入阻抗为电路理论与设计4.5.2接地仿真电感4.5.2接地仿真电感电路理论与设计4.5.2．接地仿真电感(a)(b)IiR1C2R3R4R5ViIiR1C2R3C4R5Vi+-+--+-+在4.5.1的图中，如果将阻抗Z4选为电容C4，其余阻抗选为电阻Zi=Ri(i=1,2,4,5)，同样可以实现接地仿真电感。其等效电感为：电路如上图（b）所示。电路理论与设计4.5.2．接地仿真电感当运放为理想运放时，上图(a)和图(b)都能实现一个理想电感，电感的Q值为无穷大。当电路中的运放为实际运放时，图(b)所示电路能够保证电路的Q值为无穷大，而图(a)所示电路的Q值会随着电路工作条件的变化而下降。因此，图(b)所示电路比图(a)所示电路好。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器利用接地仿真电感替换无源网络中的电感，可以实现有源RC网络。无源RLC谐振器如下图所示。它的极点频率和Q值分别为：电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器如果将上图中的x、y、z某一点断开，接入电压源Vi，输出电压从谐振器的Vo端取出，就可以实现不同的滤波功能。通常还要在电路的输出端接一个电压跟随器，以提高电路的带负载能力，使负载接入电路以后不影响谐振器的极点频率。如果需要使电路具有一定的增益，还可在电路的输出端接一个放大器。如果将上图中的电感L用仿真电感代替，其他元件不变，就可以得到有源RC谐振电路。如下图所示。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器极点频率和Q值：C6电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器元件值的设计方程为：取则以无源RLC谐振器为基础，用电感替换法实现的各种滤波电路分别如下图(a)、(b)和(c)所示。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器(a)其中，图(a)为带通滤波电路，它的转移函数为：电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器图(b)为高通滤波电路，它的转移函数为：(b)电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器(c)图(c)为低通滤波电路，它的转移函数为：电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器在所有类型的滤波电路中，最适合于采用元件模拟法进行设计的就是高通滤波器。这是因为LC梯形高通滤波器中的所有电感都是接地电感。而前面研究的仿真电感都是接地的。将LC梯形高通滤波器中的每个电感用相应的接地仿真电感替换，就得到一个有源RC高通滤波器。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器例4.7归一化五阶椭圆无源低通滤波器如图所示。用仿真电感法设计实现一个五阶有源RC椭圆高通滤波器。设高通滤波器的通带边界频率ωp=105rad/s，端接电阻为10kΩ，求出实际电路元件值。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器解：（1）无源高通滤波电路的实现为了将归一化的低通滤波器变换成为归一化的高通滤波器，就要利用低通到高通的变换式s=1/p。但是该题目要求高通滤波器的通带边界频率ωp=105rad/s。这就需要对滤波器首先进行频率去归一。方法:利用变换式s=ωp/p对归一化的低通滤波器进行变换。这种变换实际上就是将电感量为l的电感变换成电容量为C=1/(ωpl)的电容；将电容量为c的电容变换成电感量为L=1/(ωpc)的电感。电感的单位为亨利(H)，电容的单位为法拉(F)。s=ωp/p电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器由于该题目还要求高通滤波器的端接电阻为RS=RL=10kΩ，这就需要对上图所示滤波器再进行阻抗去归一。具体方法是将所有电阻和电感都乘以104，将所有电容都除以104。去归一以后的高通滤波电路及元件值如下图所示。去归一以后电感的单位为H，电容的单位为nF，这样的元件值才是实际的元件值。将所有电阻和电感都乘以104，将所有电容都除以104。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器电阻和电感都乘以104，电容都除以104。电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器s=ωp/p电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器（2）有源RC滤波电路的实现用接地仿真电感直接替代上图所示无源网络中的电感，就可以得到对应的五阶有源RC高通滤波器，如下图所示。IiR1C2R3R4R5ViIiR1C2R3C4R5Vi(a)(b)+-+--+-+电路理论与设计4.5.3利用接地仿真电感实现的有源RC滤波器1.RLC-CRD变换法在LC无源网络中，如果能通过变换的方法，将电感L变换为其它的无源或有源元件，就可以实现有源RC滤波器。利用频变负电阻就可以达到这一目的。这一方法称为RLC-CRD变换法。RLC-CRD变换法它的基本原理是：在无源滤波器中，如果将电路中各元件的阻抗乘以任意常数K，则不会影响电路的转移函数。而且各元件的性质不变。同样，在无源滤波器中，如果将电路中各元件的阻抗都乘以K/s，不影响电路的转移函数。但是电路中各元件的性质发生了如下变化：电路理论与设计4.5.4利用RLC-CRD变换法实现的有源RC滤波器4.5.4利用RLC-CRD变换法实现的有源RC滤波器电阻R：乘以K/s以后，变为RK/s。即电阻变换成电容；电感L：乘以K/s以后，变为KL。即电感变换成电阻；电容C：乘以K/s以后，变为K/s2C,其阻抗为-K/ω2C,是一个与频率有关的负电阻。称为频变负电阻FDNR(Frequencydependentnegativeresistor).也就是说，通过这种变换，将电容变换成频变负电阻。电路理论与设计4.5.4利用RLC-CRD变换法实现的有源RC滤波器若常数K=1，则实行RLC-CRD变换即对每一个元件除以s的结果是：将一个电阻值为R的电