静电场优秀公开课

第一章静电场

第一章静电场

静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。

本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。

静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。

静电场知识结构框图1.1.1库仑定律1.1电场强度N(牛顿)适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图1.1.1两点电荷间的作用力库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？b)n个点电荷产生的电场强度(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布面电荷分布线电荷分布图1.1.3体电荷的电场解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。(直角坐标)(圆柱坐标)图1.1.4带电长直导线的电场例1.1.1真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P点的电场.

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即

点电荷的数学模型积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。

点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数表示点电荷的密度分布。图1.1.5单位点电荷的密度分布点电荷的密度

可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.静电场的环路定律

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得

二者等价。3.电位函数在静电场中可通过求解电位函数(Potential)（标量），再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷1)电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式3)

E与的微分关系在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：？()？()4)

E与的积分关系设P0为参考点根据

E与的微分关系，试问静电场中的某一点图1.2.1E与的积分关系6)

电力线与等位线（面）

E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E矢量将与方向一致，故电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E的方程。当取不同的

C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:例1.2.1

画出电偶极子的等位线和电力线。电偶极子：两个相距很近的等量异种电荷组成的整体。在球坐标系中：电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得解得Ｅ线方程为将和代入上式，等位线方程（球坐标系）：用二项式展开，又有，得表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2电偶极子r1r2电力线与等位线（面）的性质：

E线不能相交;

E线起始于正电荷，终止于负电荷;

E线愈密处，场强愈大;

E线与等位线（面）正交；图1.2.3电偶极子的等位线和电力线图1.2.4点电荷与接地导体的电场图1.2.5点电荷与不接地导体的电场•

对上式等号两端取散度；•

利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得1.2.2真空中的高斯定律1.静电场的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式点电荷产生的电场其物理意义表示为高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。2.高斯定律的积分形式式中n是闭合面包围的点电荷总数。散度定理图1.2.11闭合曲面的电通量

E的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。图1.2.12闭合面外的电荷对场的影响

S面上的E是由系统中全部电荷产生的。电荷成对称分布时求解电场：P40：例2-3-1和例2-3-2电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度E为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）接地导体都不带电。（）1.2.3.电介质中的高斯定律1.静电场中导体的性质2.静电场中的电介质图1.2.13静电场中的导体均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；一个电偶极子产生的电位：

极化强度

P是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：式中图1.2.15电偶极子产生的电位

实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中——电介质的极化率,无量纲量。矢量恒等式：图1.2.16体积V内电偶极矩产生的电位散度定理令极化电荷体密度极化电荷面密度

在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度

根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和

有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为这就是电介质极化后，由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位。图示平行板电容器中放入一块介质后，其D线、E线和P线的分布。•D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；•P线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。•E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线图1.2.17D、E与P三者之间的关系()()()qq

D

的通量与介质无关，但不能认为D

的分布与介质无关。

D通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的

D

是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。B）高斯定律的积分形式散度定理图1.2.19点电荷±q分别置于金属球壳的内外图1.2.18点电荷的电场中置入任意一块介质1.3静电场的基本方程分界面上的衔接条件1.3.1静电场的基本方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,

例1.3.1已知试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程

，矢量

A可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。2、电场强度E的衔接条件以点P作为观察点，作一小矩形回路（）。1.3.2分界面上的衔接条件1、电位移矢量D的衔接条件分界面两侧

E的切向分量连续。分界面两侧的

D的法向分量不连续。当时，D的法向分量连续。图1.3.2在电介质分界面上应用环路定律则有根据根据则有图1.3.1在电介质分界面上应用高斯定律表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：图1.3.3a导体与电介质分界面在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。折射定律图1.3.3分界面上E线的折射因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数表示分界面上的衔接条件设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:一般情况下,电位的导数是不连续的。图1.3.4电位的衔接条件解：忽略边缘效应图（a）图（b）例1.3.2如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0

,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图1.3.5平行板电容器

1.4静电场边值问题唯一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例1.4.1列出求解区域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子1.4.2静电场的边值问题图1.4.1三个不同媒质区域的静电场

为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值图1.4.2边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图1.4.3边值问题研究方法框图

例1.4.2

图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题图1.4.4缆心为正方形的同轴电缆横截面边界条件积分之，得通解

例1.4.3设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图1.4.5体电荷分布的球形域电场解得电场强度（球坐标梯度公式）：

对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度E的分布。电位：2.唯一性定理的重要意义

可判断静电场问题的解的正确性：例1.4.1

图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（C）

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。图1.4.7平板电容器外加电源U01.4.3唯一性定理证明：（反证法）1.8电容及部分电容电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路：

工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。1.8.1电容定义：单位：

例1.8.1试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）图1.8.1球形电容器1.8.2多导体系统、部分电容1.已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即

•

静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统•

线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；•

部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为图1.8.2三导体静电独立系统以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；——

自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；——互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献；——写成矩阵形式为（非独立方程）注：

的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的电位而得。2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——自有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。

通常，的值可以通过给定各导体的电位，测量各导体的电荷而得。

3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）。部分电容性质:所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的值有关；•互有部分电容，即为对称阵；•

(n+1)个导体静电独立系统中，共应有个部分电容；•

部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。

例1.8.2试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知如图示：解:部分电容个数,如图(b)。由对称性得线电荷与电位的关系为图1.8.4两线输电线及其电容网络静电网络与等效电容

令则利用镜像法，输电线两导体的电位图1.8.5两线输电线对大地的镜像联立解之得二线间的等效电容：图1.8.4两线输电线及其电容网络

美国有一腿断的残废军人，用电子仪器驾驶汽车，有一次，路过高压输电线时，突然翻车了，为什么？

4.静电屏蔽

应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。令号导体接地，得这说明了只与有关，只与有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1.8.5静电屏蔽1.9静电能量与力1.带电体系统中的静电能量静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)连续分布电荷系统的静电能量假设：•电荷系统中的介质是线性的；1.9.1静电能量•电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为、,在充电过程中，与的增长比例为

m，。•建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。这个功转化为静电能量储存在电场中。体电荷系统的静电能量

t

时刻，场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为即电位为

•式中是元电荷所在处的电位，积分对源进行。•点电荷的自有能为无穷大。自有能互有能自有能是将许多元电荷“压紧”构成q所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念••是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。2.静电能量的分布及能量密度V——扩大到无限空间，S——所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图1.9.1推导能量密度用图能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论例1.9.1试求真空中体电荷密度为，半径为的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得解法一由微分方程法得电位函数为解法二

例1.9.2一个原子可以看成是由带正电荷的原子核和被总电量等于且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。解：表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功。图1.9.2原子结构模型：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功,故原子结合能未包括原子核正电荷本身的固有能量。注意1.9.2静电力2.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。

广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。二者关系：广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩（单位）（N）（N/m）（N/m2）N•m广义力×广义坐标=功1.由电场强度E的定义求静电力，即常电荷系统（K打开）：

它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。

常电位系统（K合上）：外源提供能量的增量静电能量的增