等腰三角形第二课时

13.3.1等腰三角形(第二课时)例1.如图13-3-18，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E.

求证:△BED是等腰三角形．典型例题精析

证明：∵BD是角平分线，∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴△EBD是等腰三角形．1．如图13-3-19，在△ABC中，AB=AC，∠A= 36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个变式练习A2．如图13-3-20，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3cm，则CD=

．3cm3．如图13-3-21，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥ AB，PE∥AC，则△PDE的周长是

cm.54．如图13-3-22，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN(保留作图痕迹，不写作法和证明)；

解：(1)如图所示；(2)△ADF是等腰直角三角形.理由如下：∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD．∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC．∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= ∠EAC+∠BAC=×180°=90°,∴△ADF是直角三角形.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB．∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB,∴∠EAF=∠B,∴AF∥BC,∴∠AFD=∠FDC．∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=∠FDC=∠AFD,∴AD=AF,即△ADF是等腰直角三角形.(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．(只写结果)例2.如图13-3-23,在△ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,ED⊥BC,交BC的延长线于点D，交AC的延长线于点F.

求证：AE=AF.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠1(等边对等角).∵∠1=∠2，∴∠B=∠2.∵ED⊥BD，∴∠2+∠F=90°，∠B+∠E=90°，∴∠E=∠F，∴AE=AF(等角对等边).5．如图13-3-24，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．变式练习解：△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD与△BCE中，∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形．6．如图13-3-25，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，CM⊥AF于点M.求证：EM=FM．证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°．又∵∠BAC的平分线AF交CD于点E，∴∠DAE=∠CAE，∴∠AED=∠CFE．又∵∠AED=∠CEF，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF．又∵CM⊥AF，∴EM=FM．1．下列能判定△ABC为等腰三角形的是()A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=70°C．AB=AC=3，BC=6 D．AB=3，BC=8，周长为16基础过关精练B2．如图13-3-26，已知线段a、h,作等腰△ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=h．张红的作法是：

(1)作线段BC=a；

(2)作线段BC的垂直平分线MN，

MN与BC相交于点D；

(3)在直线MN上截取线段h；

(4)连接AB、AC，△ABC为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是()A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)C3．如图13-3-27，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有()A．3个 B．4个C．5个 D．6个D4．在△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，AE=2cm，则AD=

.2cm5．如图13-3-28，AD是△ABC的BC边上的高，下列条件：①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③BD=CD；④AB=BD．从中选一个作为条件，能推出△ABC是等腰三角形的是

(填序号)．②③6．如图13-3-29,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E．若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是

．97．如图13-3-30，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE.∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形.8．如图13-3-31，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．解：△MEF是等腰直角三角形．理由如下：连接AM．∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠MAC=∠MAB=∠BAC=∠B=∠C=45°，∴AM=CM=BM．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠EAF=∠AFD=∠AED=90°，∴∠FDE=90°=∠EAF，DE∥AB，∴∠AFE=∠DEF．又∵EF=EF，∴△AEF≌△DFE(AAS)，∴AE=DF．∵DF⊥BF，∠B=45°,∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM,∴△AEM≌△BFM(SAS),∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．9．如图13-3-32，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°,AB=AC,D为BC上一点，AB=BD,DE⊥BC,交AC于点E，则图中的等腰三角形的个数有

()A．3个 B．4个 C．5个 D．6个能力提升演练B10．如图13-3-33，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=8，BC=5，则BD的长为

．1．511．如图13-3-34，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20．求AB的长．解：在CD上取点E，使DE=DB，连接AE．∵BD=5，∴DE=BD=5，BE=10．∵BC=20，∴CE=10．∵AD⊥BC，即AD垂直平分BE，∴AB=AE，∴∠B=∠BEA．∵∠BEA=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE=10，∴AB=AE=CE=10．12.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图13-3-35，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.

求证：AB=CD.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明. (1)如图13-3-36①，延长DE到点F使得EF=DE; (2)如图13-3-36②，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE于点F交DE的延长