高中数学一轮复习考点专题训练专题35基本不等式

高中数学一轮复习考点专题训练专题35基本不等式高中数学一轮复习考点专题训练专题35基本不等式/高中数学一轮复习考点专题训练专题35基本不等式高考数学一轮考点扫描专题35基本不等式一、【知识精讲】a＋b1.基本不等式：ab≤2基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.a＋b(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.两个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.＋2＝时取等号.(2)≤ab(，∈R)，当且仅当bab2aba利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)若是积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).s2(2)若是和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大).[微点提示]baa＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.a＋b2a2＋b2ab≤≤.222a＋ba2＋b23.11≤ab≤2≤2(a>0，b>0).a＋b二、【典例精练】考点一利用基本不等式求最值角度1经过配凑法求最值211【例1－1】设a＞b＞0，则a＋ab＋aa－b的最小值是( )A．1B．2C．3D．4【答案】D【剖析】a2＋1＋a1＝(a2－ab)＋21＋1＋aba－ba－abab211211ab≥2a－ab·a2－ab＋2ab×ab＝4，当且仅当a－ab＝a2－ab且ab＝ab，即a＝2，b＝2时取等号，应选D.2角度2经过常数代换法求最值【例1－2】已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，则x＋y的最小值为________．【答案】3＋221【剖析】由x>0，y>0，x＋2y＝xy，得x＋y＝1，1因此x＋y＝(x＋y)x＋y2yx3＋x＋y≥3＋22.当且仅当x＝2y时取等号．【解法小结】在利用基本不等式求最值时，要依照式子的特点灵便变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，成立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.考点二基本不等式在实责问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法例限制50≤x≤100(单位：千米/时).x2假定汽油的价钱是每升2元，而汽车每小时耗油2＋14元.360升，司机的薪资是每小时(1)求此次行车总花销y对于x的表达式；(2)当x为何值时，此次行车的总花销最低，并求出最低花销的值.130【剖析】(1)设所用时间为t＝x(h)，130x2130y＝x×2×2＋360＋14×x，x∈[50，100].130×182×130因此，此次行车总花销y对于x的表达式是y＝x＋360x，x∈[50，100]234013(或y＝x＋18x，x∈[50，100]).130×182×130(2)y＝x＋360x≥2610，130×182×130x，当且仅当x＝360即x＝1810时等号成立.故当x＝1810千米/时，此次行车的总花销最低，最低花销的值为2610元.【解法小结】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.依照实责问题抽象出函数的剖析式后，只要利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，必然要在定义域(使实责问题存心义的自变量的取值范围)内求解.考点三基本不等式的综合应用【例3】(1)(2017·山东高考)若直线x＋y＝1(>0，>0)过点(1,2)，则2＋b的最小值为________．ababa(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△中，角，，C所对的边分别为a，，c，∠＝120°，∠的ABCABbABCABC均分线交于点，且＝1，则4＋c的最小值为________.ACDBDa【答案】(1)8(2)9【剖析】（1）∵直线x＋y＝1(a>0，>0)过点(1,2)，abb12∴a＋b＝1，124ab4ab∴2a＋b＝(2a＋b)a＋b＝4＋b＋a≥4＋2b·a＝8，b4当且仅当a＝b，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8.法一依题意画出图形，以以下图.易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，111即2csin60°＋2asin60°＝2acsin120°，1a＋c＝ac，∴a＋c＝1，11c4a∴4a＋c＝(4a＋c)a＋c＝5＋a＋c≥9，43当且仅当a＝c，即a＝2，c＝3时取“＝”.法二以B为原点，BD所在直线为x轴成立以以下图的平面直角坐标系，则D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，3，Ca，－3.∴Ac，c2a222→→∵A，D，C三点共线，∴AD∥DC.31－2－2a＋2c2－1＝0，ac＝a＋c，∴1a＋1c＝1，3a11c4a∴4a＋c＝(4a＋c)a＋c＝5＋a＋c≥9，当且仅当c＝4a，即a＝3，＝3时取“＝”.ac2c【解法小结】基本不等式的应用特别宽泛，它能够和数学的其他知识交汇察看，解决这类问题的策略是：先依照所交汇的知识进行变形，经过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转变为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转变为能利用基本不等式的形式.3.查验等号可否成立，达成后续问题.三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“2＋2)a>b>0”是“ab<a2b”的(A.充分不用要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件【答案】A22>2ab，充分性成立，由a2＋b2【剖析】由a>b>0，可知a＋bab<2，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不可以立.x2－2x＋112.(2019·玉溪一中月考)已知f(x)＝x，则f(x)在2，3上的最小值为()14A.2B.3C.－1D.0【答案】Dx2－2x＋111【剖析】f(x)＝x＝x＋x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号.又1∈1，3，因此f(x)在1上的最小值为0.2，323.(2019·济南联考)若a>0，>0且2＋＝4，则1的最小值为()babab11A.2B.2C.4D.4【答案B【剖析】】因为a>0，b>0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号).又因为2a＋b＝4，∴22ab≤4?0<ab≤2，1111∴ab≥2，故ab的最小值为2(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).4.(2019·长春质量监测)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．16【答案】B【剖析】由4x＋y＝xy41414xy4＋5＝9，当且仅当4x得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·y＋x＝＋＋1＋4≥2＝yxyxyyx，即x＝3，y＝6时取“＝”，应选B.5.(2019·江西上饶联考)已知正数，，知足2－＋＝0，则ac2的最大值为( )abcabcbA．8B．211C．8D．6【答案】C因为a，b，c都是正数，且知足2a－b＋c＝0，因此b＝2a＋c，因此acac2＝4ac【剖析】2＝2＋c2＋4＋2baaacc1≤11c＝2a>0时等号成立．应选C.＝4ac＝8，当且仅当4c＋a＋42c·a＋46.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )2【答案】B【剖析】由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，2|PA|2＋|PB|2|PA|＋|PB|∴≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，22∴|PA|＋|PB|≤22，∴|PA|＋|PB|的最大值为22.1927.(2019·衡水中学质检)正数a，b知足a＋b＝1，若不等式a＋b≥－x＋4x＋18－m对随意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D9【剖析】因为a>0，b>0，a＋b＝1，19b9a因此a＋b＝(a＋b)a＋b＝10＋a＋b≥16，9a当且仅当a＝b，即a＝4，b＝12时取等号.依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对随意实数x恒成立.又x2－4x－2＝(x－2)2－6，因此x2－4x－2的最小值为－6，因此－6≥－m，即m≥6.a8.(2019·山西模拟)已知不等式(x＋y)·x＋y≥9对随意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2B．4C．6D．8【答案】B1axy2xy22【剖析】(x＋y)x＋y＝1＋a·y＋x＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)，当且仅当a·y＝x，即ax＝y时“＝”成立．a(x＋y)x＋y≥9，1a2∴(x＋y)x＋y的最小值为(a＋1)≥9.∴a≥4.应选B.9.(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正当，则k的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B2xxx2【剖析】由f(x)>0得3－(k＋1)3＋2>0，解得k＋1<3＋3x.x23x22时，等号成立).又3＋x≥22(当且仅当＝x，即x＝log333因此k＋1<22，即k<22－1.3310.(2019·上海模拟)设x，y均为正实数，且2＋x＋2＋y＝1，则xy的最小值为( )A．4B．43C．9D．16【答案】D【剖析】33＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当＋2＋y2＋xx＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.应选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，a＋bc，则a＋b＋c的最小值为()A.2B.2＋2C.4D.2＋22【答案】D【剖析】因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，1因此2(a＋b＋c)×1＝1，因此a＋b＋c＝2，4a＋b2（＋＋）＋2ca＋b因此a＋b＋c＝a＋b＋c＝2＋a＋b＋c≥2＋22，当且仅当a＋b＝2c，即c＝22－2时，等号成立，a＋b因此a＋b＋c的最小值为2＋22.π1912.(2019·绵阳诊疗)若θ∈0，2，则y＝sin2θ＋cos2θ的取值范围为()A．[6，＋∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)【答案】Dπ2219192【剖析】∵θ∈0，2，∴sinθ，cosθ∈(0,1)，∴y＝sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ(sinθ＋2cos2θ9sin2θcos2θ9sin2θcos2θ9sin2θπcosθ)＝10＋sin2θ＋cos2θ≥10＋2sin2θ·cos2θ＝16，当且仅当sin2θ＝cos2θ，即θ＝6时等号成立．应选D.y≤x＋1，13.(2019·合肥调研)设，知足拘束条件≥2－1，若目标函数＝＋(>0，>0)的最大值为xyzabxyabx≥0，y≥0，35，则a＋b的最小值为________.【答案】8【剖析】可行域以以下图，当直线＋＝(>0，>0)过点(2，3)时，z取最大值2＋3.abxyzabBab于是有2ab＋3＝35，ab＝16.因此a＋b≥2ab＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，因此(a＋b)min＝8.314.(2019·乐山一中月考)设0<x<2，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.9【答案】2【剖析】y＝4(3－2x)＝2[2x(3－2)]xx22＋（3－2）9，≤2x2x＝23当且仅当2x＝3－2x，即x＝4时，等号成立.3339∵4∈0，2，∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜2的最大值为2.15.(2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则11＋的最小值为________.mn【答案】4【剖析】∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，A(1，1).将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，可得m＋n＝1，1111nmnm∴＋＝＋·(＋)＝2＋＋≥2＋2·＝4，mnmnmnmnmn当且仅当nm1＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，获取等号.mn2(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前值为________.

Sn＋10n项和，则an＋1的最小【答案】3【剖析】∵a3＝7，a9＝19，a9－a319－7d＝9－3＝6＝2，an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，nn（3＋2n＋1）∴S＝2＝n(n＋2)，n＋10n（n＋2）＋1019（n＋1）＋n＋1因此an＋1＝2＋2＝2n19≥2×2（n＋1）·n＋1＝3，Sn＋10当且仅当n＝2时取等号.故an＋1的最小值为3.17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)12－130x＋4900，∈[50，80，75的关系可近似表示为y＝x12－60，x∈[80，120].该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【剖析】(1)当x∈[50,80)时，y＝1(x2－130x＋4900)＝1[(x－65)2＋675]，7575因此当x＝65时，y获取最小值，最小值为175×675＝9.x120当x∈[80,120]时，函数y＝12－60单一递减，故当x＝120时，y获取最小值，最小值为12－60＝10.因为9<10，因此当x＝65，即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少．120设总耗油量为lL，由题意可知l＝y·x，1208490084900①当x∈[50,80)时，l＝y·x＝5x＋x－130≥52x×x－130＝16，4900l获取最小值，最小值为16；当且仅当x＝，即x＝70时，x1201440②当x∈[80,120]时，l＝y·x＝x－2为减函数，因此当x＝