高代题库试题与

高代题库试题与高代题库试题与高代题库试题与一填空题(每题三分共15分)1A,B为n阶可逆矩阵，C=O，则C1=______________。2A为n阶矩阵，A=1，则(3A)1A*=______________3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于4设1,2,...n线性没关，W=L(1,2,...n)，则W的维数为_______________________。5数量矩阵A=aE的特点根为__________________。二单项选择题(每题三分共15分)1设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则( )(A)当m>n时，必有队列式AB0(B)当m>n时，必有队列式AB=0(C)当n>m时，必有队列式|AB|0(D)当n>m时，必有队列式AB=02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=ftB,贝U( )(A)AB的秩与AC的秩不用然相等。(B)AB的秩与AC的秩必然相等。(C)AB的秩与AC的秩必然不相等。(D)AB的秩必然不高出C的秩。3设向量空间V中含有r个向量，则以下结论建立的是( )(A)r=1;(B)r=2;(C)r=m(有限数)；(D)r=1或4数域F上n维向量空间V有( )个基；(B)n；(C)n!;(D)无量多.5设向量空间W={(a,2a,3a)aR},则W的基为：( )(A)(1,2,3,);(B)(a,a,a);(C)(a,2a3a);(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)三(15分)2237

110X=1求X

1214四(15分)把二此型f(,x2,X3)=X1X2+x1,X3+X2X3经过非退化线性代替化成平方和五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1)1(1,2,1,0),2(1,1,1,1)2)1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7)六（10分）求矩阵511A=602的特点值与特点向量311七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A2-2A+2E可逆，并求B12设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3设U是n维向量空间V的非平庸子空间，证明:存在不仅一个V的一填空题(每题三分共15分)1若A=a,贝UAA=_____________.12342A=1245，则秩A=____________。110123t知足__________寸二次型x2+4x；+x；+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定二次型。4形如A=倉$的矩阵(aF)作为M2(F)的子空间，其维数为_______________。5设n阶矩阵A知足A2=A，则A的特点根只有______________.二单项选择题(每题三分共15分)的1A,B为n阶矩阵，则以下式子建立的是( )(A)AB=A+B(B)(A+B)1=A1+B1CAB=BAD若AB=B+E贝U有BA=B+E2A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EUA2+B2+C2=( )(A)3E(B2E(C)E0矩阵3设1,2,...)(DS与1,2,⋯m均为向量空间V中向量，L(1,2，⋯n)=L(1,2,..S)，则以下结论建立的是( )(A)S=m;(B)1,2,■■■S可由1,2,..?m线性表出；(C)1,2,■■-S是L(1,2,■■-m)的一个基(D)1,2，⋯S线性有关时，必有1,2，⋯m也有关+4设W(，W2都是V的子空间，则以下结论建立的是( )(A)W(+(W2)=W(B)W1+(W1W2)=W1+W2(C)W1+(W1W2)=W1(D)W1+(W1W2)=W25设A=51，则A的特点根为（）(A)1(二重）?（B）5（二重）；（D）1，5(C)-4，6?三(15分)122已知A=212,求A及（A*）1221四（15分）把二此型222f(x1,x2,x3)=x1+2x2+4x3+2x1x2+4x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数2=(-1，1，0，3)

1=(2，0，1，2)4=(5，-1，2，1)=(0，2，1，8)4的特点值与特点向量七证明题（15分）1A,B为n阶方阵，ABA=B1,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2证明：若A为正定阶矩阵，则A1也为正定阶矩阵。3设V1与V是V的互不一样样的非平庸子空间，且V=V1+V2，证明：存在V的非平庸子空间V,1=1,2,使得V=WW高等代数（下）试题（8）填空题（每题三分共15分）1203121A=011,B为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=a22a12a22A=b1b2,B=b1b2,A=2,则2AB=2,A=2,则2AB=2223实二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2-2x2-x3的秩为_________;符号差为4是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由___________唯一确定5齐次线性方程组（EA）x=o的_______________R是A的_______征向量二单项选择题（每题三分共15分）1A,B,C都是n阶矩阵，且ABC=I,则（）建立（A）CBA=I（B）BAC=I（C）ACB=I（D）BCA=I2A,B为n阶对称矩阵，以下命题不正确的为（A）A+B对称；（B）AB对称；（C）Am+Bm对称；（D）AB+BA寸称。3设向量空间V中含有r个向量，则以下结论建立的是( )r=1；(B)r=2;(A)(C)r=m（有限数）;(D)r=1或4数域F上n维向量空间V有（)个基(A)；(B)n；(C)n!；（D）无量多5设A=1551则A的特点根为( )(A)1(二重)7(B)5(二重)7C)-4，6

D)1，5三(15分)解矩阵方程XA=B+2X其中510231A=216B=四(15分)把二此型f(x1,x2,x)=x1x2+4x1x3-62x3经过非退化线性代替化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六(10分)求矩阵4100130A=361的特点值与特点向量七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A0,且Am=0,B为n阶可逆矩阵，证明当AX=XB时，必有B=02设A实对称矩阵，证明：当t充分大后，tE+A是正定矩阵。3证明：若是V2，V1=V11V12，则V=V11V12V2.a1a22a12a2A=b1b1b2A=2,则2AB=b2,B=为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=______A=,B二次型f(x1,x22,x3）=x1+2x1x2+2x2x3则f的秩为正惯性指标为2224t知足时二次型2x1+x2+5x3+2tx1x2-2xx3+4x2x3为正定二次型。5Ann=aa1特点值为单项选择题（每题三分共15分）的2221A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EMA+B+C=((A)3E(B)2E(C)E(D)O矩阵n阶矩阵，A是A的陪伴矩阵，则必然有1(A)(A)1=AA(B)A1=AA1=AA(B)A1=AA*(C)AA(D)(AW2都是V的子空间，则不用然V的子空间的是(A)WW(B)W1W2(C)W+W2(D)W1+V0是矩阵A的特点根，并且有A0，则特点根(A)-A(B)(C)A(D)5设向量空间W={(a,2a,3a)aR},则W的基为：（(A)(1,2,3,(B)(a,a,a)；(C)(a,2a3a)(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)(15分)1a2an⋯A=a四(15分)把二此型f(x1,x2,x3)=x21-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五（15分）求由向量，生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(1,01,1)六（10分）求矩阵的特点值与特点向量A=七证明题(15分)2=B=1A+B=0，证明（A+B不可以

设A,B为n阶矩阵,A逆。为mn阶实矩阵,B=E+A/A,证明：当0时，B为正定阶矩阵。0A为n阶实反对称矩阵,即A=-A，证明：若0是矩阵A的特点根,则-也是矩阵A的特点根高等代数（下）试题⑹一填空题（每题三分共15分）1A为n阶矩阵，A*是A的陪伴矩阵，贝UAA*=______________。^1^1

220341452

^1^12223实二次型f（x1,x2,x3）=x1+2x1x2-2x2-x3的秩为________;符号差为4数域F上随意n维向量空间V都可表为____________一维子空间的直和5设n阶矩阵A知足A=A，贝UA的特点根只有____________________。单项选择题（每题三分共15分）1设A是3矩阵,则2A等于( )(A)-2A(B)2A(C)-8A(D)8A2A,B,C都是n阶矩阵，且ABC=I,则( )建立(A)CBA=I(B)BAC=I(C)ACB=I(D)BCA=I3设1,2,...S与1,2,...m均为向量空间V中向量，L（1,=L(则以下结论建立的是(A)S=m;(B)1,2,⋯S可由1,2,...m线性表出;(C)n2,⋯S是L（「厂⋯m）的一个基(D)1,2,...S线性有关时,必有1,2,⋯m也有关4设向量空间W={(a,2a,3a)R},则W的基为:(A)(1,2,3,(B)(a,a,a)；(C)(a,2a3a)(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)02230003010则A的特点根是(A)1(四重)（B）1（二重），2（二重）（C）2（二重），3（二重）

D）1（二重），2，3（15分）**A设A是A的陪伴矩阵，X知足AX=A+2X,求矩阵X,其中1

11A=四（15分）把二此型f（,x2,x3）=2x12+2x1,x3-6x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五（10分）在P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数1（2,1,3,1），2（1,2,0,1）3（1,1,3,0），4（1,1,1,1）六（15分）求矩阵122311A=221的特点值与特点向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵，（即AT=-A）,E-A,E+A皆可逆，2若是A1--Am是n阶正定矩阵，k1--km是正数，

证明：k1A+⋯+kmAm也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数(下)试题⑸一填空题(每题三分共15分)EnO1A=EnEn,En为n阶单位矩阵，则A1=_______________。122A为n阶矩阵，A=，则(3A)A=______________________。3正定二次型的特点根都是__________________。4设1,2,...n线性没关，W=L(1,2,...n)，则W的维数为____________________5齐次线性方程组(EA)X=O的__________E是A的特点向量。单项选择题(每题三分共15分)1设A是mn矩阵,B是nm矩阵则AB(A)当m>n时，必有队列式(B)当m>n时，必有队列式AB=0AB(C)当n>m时，必有队列式(D)当n>m时，必有队列式AB=0A,B为3阶矩阵，A=(,22，33)B=(3),2,3三维列向量,=18,=2,设向量空间V中含有r个向量，则以下结论建立的是r=1；(B)r=2；(C)r=m(有限数)；(D)r=1或2,...=L(2,S))则以下结论建立的是，(D)1,2,...S线性有关时,必有1,2,...m也有关5设向量空间W={(a,2a,3a)R},则W的基为:(A)(1,2,3,)(B)(a,a,a)；(C)(a,2a3a)(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)（15分）解矩阵方程XA=B+2X其中A=B=(15分)把二此型f(x1,x2,x3)=x21+2x2+4x3+2x12+4x2x3经过非退化线性代替化成平方和。(15分)4中，求由向量i（l=1,2,3,4）生成的子空间的基与维2=(-1,1,0,3)数。3=(0,2,1,8)=(5,-1，2,1)

六(10求矩阵A=的特点值与特点向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵,(即AT=-A)，E-A,E+A皆可逆,2设A,B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3设U是n维向量空间V的非平庸子空间，证明：存在不仅一个V的子空间W使得V=UW高等代数(下)试题⑷一填空题(每题三分共15分)1若A=A，贝uA=_____________.2设A为n阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n阶矩阵，AB=O,则秩B=___________。2223t知足_________寸二次型x1+4x2+x3+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定二次型。0a4形如A=a0的矩阵(aF)作为M2(F)的子空间，其维数为<5数量矩阵A=aE的特点根为___________________。二单项选择题(每题三分共15分)的1A,B为n阶矩阵，则以下式子建立的是( )(ElAB=IA+B111(F)(A+B)=A+B(GAB=BA(H若AB=B+E贝U有BA=B+E2222A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EUA+B+C=( )(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩阵3设112,⋯S与112,⋯m均为向量空间V中向量，L(1121■■-n)=L(112,⋯S)，则以下结论建立的是( )(A)S=m;(B)1121⋯S可由112,m线性表出；(C)1121⋯S是L(1121⋯m)的一个基(D)1121⋯S线性有关时，必有1121⋯m也有关+4设W，W2都是V的子空间，则以下结论建立的是( )(A)W+(WW2)=W2(B)W1+(WW2)=W+WC)W1+(W1W)=W1(D)W1+(W1W2)=W2155设A=51，则A的特点根为(A)1(二重)B）5（二重）；C)-4，6D)1，515分)1a2an...n1aA=an2a1'四(15分)把二此型22f(x1,x2,x3)=x1-3x2-2x1x2+2x1x3-6x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)2)1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7)六（10分）求矩阵123122211的特点值与特点向量22A=七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A3=2E,证明B=A-2A+2E可逆，并求B2设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，tE+A是正定矩阵3设V1与V2是V的互不一样样的非平庸子空间,且V=V1+V2,使证明：存在V的非平庸子空间W,1=1,2,得V=W1W2。高等代数(下)试题⑶一填空题(每题三分共15分)1—221设A为n阶矩阵，A=2(B+E),且A=A，则B=____________。a1a22a12a22A=b1b2,B=b1b2,A=2,则2AB=_______________。223二次型f(x,x2,x3)=x1-2x1x2+x2+3x1x3的矩阵是__________________4是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由_________■唯一确定。5设是F4的两个线性变换,=(x1,x,x3,x4),( )=(0,x1,x2,x3)贝卩2( )=_____________________。二单项选择题(每题三分共15分)2221A,B,C为n阶矩阵，AB=BC=CA=EMA+B+C=( )(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩阵2A,B为n阶对称矩阵，以下命题不正确的为( )(A)A+B对称；(B)AB对称；(C)Am+Bm对称；(D)AB+BA寸称。3复数域C关于数的乘法与加法能够组成( )上的向量空间。(A)复数域C;(B)实数域C;(C)有理数域Q;(D)随意数域F4数域F上n维向量空间V有( )个基(A)1;(B)n；(C)n!;(D)无量多5数域F上n维向量空间的维数为r,112,...nV,且随意V中向量可由J2,...n线性表出，则以下结论建立的是(B)rn（C）r<n；（D）r>n三（15分）2237

1101121X=4求X四（15分）把二此型f（x1,x2,x4）=x1x2+x1x3+x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1（3,1,2,1），2（0,1,0,2）1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六(10分)求矩阵210

121A=012的特点值与特点向量七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A0,且Am=0,B为n阶可逆矩阵,证明当AX=XB时，必有B=012设A,B都是n元正定矩阵，试证：A也是正定矩阵证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数(下)试题⑵一填空题(每题三分共15分)1—221设A为n阶矩阵，(B+I),且A=A,贝UB=_______________。1203122A=011,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_______________。23二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+2x23则f的秩为_________________<正惯性指标为_______。301

1t34A=124的一个特点值为2,则t=1aa???a

a1a???a5Ann=aaa...1特点值为二单项选择题(每题三分共15分)的1设A,B分别是mn,np矩阵，则B/A/是( )(A)mp矩阵(B)pm矩阵(C)nn矩阵(D)nm矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的陪伴矩阵，则必然有( )1**A1IA*A)AA=AA=AI(B)A=IAA11(C)(A*)1=AA(D)(A*)1=AA1*3W1,W2都是线性空间V的子空间，则以下关系式不用然建立的是( )(A)W1W2W1,W1W2W2(B)W1W1+W2,W2W+W(C)WQWWW2,(D)W1WW+W4设0是矩阵A的特点根，并且有A0，则1是( )特点根(A)-A(BA/*1(C)A(D)A5B为mn矩阵，则方程组BX=0只有零解是BB=O为正定矩阵的( )(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D非充分条件也非必要条件三(15分)**1设A是A的陪伴矩阵，X知足AX=A+2X,求矩阵X,其中1

1A=1四(15分)把二此型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3经过非退化线性代替化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(1,01,1)O13的特点值与特点向量七证明题(15分)且A+B=0,证明(A+B不可以逆。

1设A,B为n阶矩阵，A2=B2=IE+AA,证明：当0时，B为

2设A为mn阶实矩阵，B=正定矩阵/03A为n阶实反对称矩阵，即A=-A，证明：若是矩阵A的特点根,0则-也是矩阵A的特点根高等代数（下）试题⑴一填空题（每题三分共15分）1设A是一个n阶方阵，且Am=0,则（E-A）（E+A+⋯+Am1）=___________2设A为n阶矩阵，且秩A=r,P,Q为n阶可逆矩阵，则秩（AQ=_____________秩（APQ=________3二次型f（x1,x2,x3）=-6x1x2的矩阵是______________4设W1,W2是有限维线性空间V的子空间，W,W2,W1W2W+W之间的维数公式为__________________________。5设。是矩阵A的一个特点根，且A,则J是_________________的一个特点根。二单项选择题（每题三分共15分）1设A，B,C均为n阶矩阵，则以下论断正确的有若AB=BA则（A）若AB=AC贝UB=C（B）A（B+C=（B+CAmnmn（C）AA=A22（D）（A+B（A-B）=A-B2设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=ftB,贝U(A)AB的秩与AC的秩不用然相等。(B)AB的秩与AC的秩疋相等。(C)AB的秩与AC的秩疋不相等。(D)AB的秩必然不高出C的秩。3设W，W2都是V的子空间，则不用然V的子空间的是( )(A)WW(B)W1(C)W*W(D)W+V4设w=(a，0,0)aFw=(，b,c)b,cF、皿=(a,b,0)a,bF则以下结论不建立的是3A)dimW1+W2=F3(B)W2+W3是直和3C)W1+W2+W=F3D)W1+W2是直和4设是向量空间V的一个线性变换，则以下结论建立的是A)定有特点根，进而有特点向量。B)有特点根，但无有特点向量。C)若有特点根，则必然有特点向量。D)不用然有特点根，但必然有特点向量。15分)2

12211*121,求A及(A)

已知A=215分)把二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1,x3-6x2x3经过非退化线性代替化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量i(I=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)六(15分)求矩阵511602A=311的特点值与特点向量七证明题(15分)11设A,B为n阶矩阵，且ABA=B，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2若是A1-Am是n阶正定矩阵，k1--km是正数,证明：k1A1+⋯+kmAm也是正疋矩阵。3证明：若是V=VV2,V>=WV12，贝UV=V11V12V2.高等代数（下）答案（1）1,E2,r3,O4,dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1W2)5A11,C2,A3,A4,B5,C122三（15分）已知A=212221求A1及(A*)1122100

122100解：（A日2120100362104009221

2210011221000100019992129992219994分1122A1:112A二J9221=27(A)11122="1r"12A2721四（15分）经过非退化线性代替化成平方和。解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵011212103103130230分A=510010001011000100120010012212102010200020006111110001f(x2221,x2,x3)=2w1-2w2-6w3X1w1w2W3X2w1w2X3W3五(10分)在P4中，求由向量i(|=1,2,3,4生成的子空间的基与维数。1(2,131)，2(1,2,0,1)3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)21112111解：122100003031303111111020010000003003110201,3，4是L(2,3，4的一组基1,维数33分为六(15分)求矩阵511A=602的特点值与特点向量311511解：62=(2)3=06分311矩阵的特点值与特点向量1=2=3=23分3x1x2x30解方程组6x12x22x303分3x-ix2X30A的特点向量为k1(1,3,0)+k2(0,1,1)七证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B1，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n证明：因为ABA=B1，所以ABAB=E(E-AB)(E+AB=0秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2分秩(E-AB)+秩(E+AB)秩((E-AB+E+AB)=n2分所以，秩(E-AB)+秩(E+AB)=n1分2若是A1--Am是n阶正定矩阵，k1-km是正数，证明：k1A1+⋯+kmAm也是正定矩阵。证明：A1⋯Am是n阶正定矩阵，所以XA,X0⋯⋯XAmX0所以，k1A1+⋯+kmAm也是正定矩阵。13证明：若是VVV,V1=V11V12，则v=V11V12V2.证明：显然有V=V11V12+V2.设1112+2=0因为（1112)+2=0，V=V1V2所以1112=0，2=0有因为，V1=V11V12，所以11=12=0进而，V=V11V12V2.高等代数（下）答案⑵一I2,23,324,65,1=1-(n-1)a,2=...=n=1-a二1B,2,A3,C4,D5,C三(15分)**1设A是A的陪伴矩阵，X知足AX=A+2X,求矩阵X,其中111

111A111

A=10111101解：A=20111011110*A=20111*1X=A(A-2E)1101011X=4101四（15分）把二此型f(x1,x2,x3)=x1x2+4X1x3-62x3经过非退化线性代替化成平方和。10—22103

2230100010解A=00110011012

12

0P=,X=PY,f(x1,x2,X123)=y12-4Y2+24y23五（15分）求由向量，生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)，2(3,1,1,1)3(1,01,51)解：=x1+X22=-y11-y22-y334分解方组组的秩为46分所以dim(W1W2)=12分(53，119,-19，-134）是WW2的一组基。3分六（10分）求矩阵4101A=3的特点值与特点向量4100130解：36=（1)(2)=03分矩阵的特点值与特点向量1=2=1,3=-210x22x110x20X12x2x-!5x20解方程组3x16x23为6x23x30得A的征向量为k1(-2,1,0)T+k2(0,0,1)七证明题（15分）2设A,B为n阶矩阵,2A=B=1且A+B=0，证明(A+B)不可以逆。证明:AEEB=ABBAAB=ABA2=0所以=-1，所以（A+B=0，（A+B）不可以逆。2设A为mn阶实矩阵，B=/E+AA,证明:0时，B为正定矩阵证明：XBX=X（/E+AA)XEX0XA/AXXBX=X(/E+AA)X所以，当0时，B为正定矩阵3A为n阶实反对称矩阵,/即A=-A，证明:0是矩阵0A的特点根，则-也是矩阵A的特点根证明:A)/EA=(-1)0若是矩阵A的特点根，则也是矩阵A的特点根高等代数（下）答案⑶03-o21,E2,123,45,(0,0,x1,x2)1,B,2,A3,A,4,B,5,A(15分)22111237011X=4求X31002211

0010121001解：（AE）100313010323001324X=A四（15分）把二此型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3经过非退化线性代替化成平方和。xiyiy2xiyiy2解：令X3y33)2f(x1,x2,x3)=(yiy-y2-y3f(x1,x2,x3)=z21-z2-Z3非退化线性代替为X1Z1Z2Z3X1Z1Z2Z3X3Z3五(15分)求由向量，生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数i(3,1,2,1)2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)解：=x11+X22=-y11-y224分解方组组的秩为34分所以dim(W1W2)=1，2分1+2=122W1W2，3分21+2是W2的一组基。分六（10分）求矩阵210121A=012的特点值与特点向量210121解：012=（2）（2-应）（2+2)=05解方程组得特点向量为1=(1,0,-1),2=(,_迈,1)=(1，迈,1)5A的特点向量为k11+k22+k33七证明题(15分)m设A为n阶矩阵，A0,且A阶可逆矩阵,=0，证明当AX=XB时，必有X=0证明:AX=XBmmX=XB=0分可逆，所以必有X=0分设A是n元正定矩阵，试证:也是正定矩阵。证明:A可逆，存在可逆矩阵C使得TC分11T1=C(C)=((C分证明：设V为n维向量空间，而5,6,⋯n为它的一组基，

证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和贝UL(i)都是V的一维子空间，且L(1)+L(2)+??[(n)=L(1,2，⋯n)=V而1,2，⋯n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一故以上的和为直和所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和15所以，A也是正定矩阵。高等代数（下）答案⑷412,22,3-5t04,15,a二1D,2,A3,三(15分)n⋯A=aA解：A=11a1a1A1=N四（15分）把二此型f(x1,x2,x3)=x21-3x22-2xx2+2x1x3-6x2x3经过非退化线性代替化成平方和。解：二次型f（x1,x2,x3）的矩阵1000100015分100020003110011001分6222f(x1,x2,x3)=w7+2w8-3w32分x1w1w2x2w2w3x3w32分五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数解：=x11+x22=-y11-y22解方组组的秩为3所以dim(W1W2)=1，5，-2，-3，-4）是W1W2的一组基322W1W，31+2=11+2是W1W2的一组基。2六(10分)求矩阵A=的特点值与特点向量7)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)8)1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7)31解：921=(3)3=0矩阵的特点值与特点向量1=2=1,3=-32x12X22X303%2X2X30&—2X12X22X30A的特点向量为k(1,-2,1)2七证明题(15分)321设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A-2A+2E可逆，并求B证明：B=A(A+2E)(A-E)2A1=2A2312A-E=E,(A-E)=A+A+E13A+8E=10E(A+2日1=102(A-2A+4E)2分1A212221B=10(A+A+E)(A-2A+4E)分t充分大后，tE+A是正定矩阵。证明：A是实对称矩阵，tE+A是实对称矩阵,令f(t),f(t),⋯㈠⑴，为tE+A的次序主子式,它们都是首项系数为1的多项式当t充分大后，f1(t),f2(t),⋯厂⑴0所以，当t充分大后，tE+A是正定矩阵。9设A是实对称矩阵，证明：当3设V1与V2是V的互不一样样的非平庸子空间，且V=V1+V2,证明：存在V的非平庸子空间WiVi，I=1,2,使得V=W1W2。证明：设V的一组基为1,2，⋯nL(1,2,⋯n)=V则L()都是V的一维子空间，2分V=V1+V2W1=L(1，2，⋯r)V1，w2=L(r，r1，⋯n)V2，2分所以，存在V的非平庸子空间WiVi，I=1,2,使得V=W1W2。高等代数（下）答案⑸0TA'En,EE，nn2,（1）n3,大于零4,n5,解，属于的26n:1,B2,A3,D4,B5,A.（15分）解矩阵方程XA=B+2X其中510A=231B=340216012解：X（A-2E）=B2分X=B（A-2E）13分111123X=B（A-2E）101122110分=四（15分）把二此型222（x1,x2,x3）=x1+2x2+4x3+2x1x2+4x2x3经过非退化线性代替化成平方和。00

12--11202.122010024001.11o1oo010O0.1OO1OO5分1120f（x1,x2，x3）=wf+w2分2人％X2X3y2y22y32y3y32分五（15分）在P12中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。1046分10

1001lzx/o78117111200200所以i(l=1,2,3,4)生成的子空间的基为分1，22维数为22分六(1