人教版-数学-八年级上册-全册-期末复习资料-专题练习

专题练习：等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A)A.12B.9C.12或9D.9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)A.1，2，3B.1，1，eq\r(2)C.1，1，eq\r(3)D.1，2，eq\r(3)3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D)A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个(第5题图)5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.其中正确的结论是(A)A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④(第6题图)6．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__eq\r(5)或eq\r(13)__．(第8题图)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．解：AD＝AF.证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，∴∠BFE＝∠D.∵∠BFE＝∠DFA，∴∠DFA＝∠D，∴AF＝AD.拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为(B)A.2B.eq\r(3)C.2eq\r(3)D.310．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝eq\f(1,2)BC，则△ABC底角的度数为(D)A.45°B.75°C.60°D.45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A(eq\r(2)，eq\r(2))，B(3eq\r(2)，3eq\r(2))，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(B)A.2B.3C.4D.512．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，则EF＝__5__．14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA＝OB1，连结AB1，在B1A，B1B上分别取点A1，B2，使B1B2＝B1A1，连结A1B2，…，按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠AnBnBn＋1＝θn，则：(1)θ1＝eq\f(180°＋α,2)；(2)θn＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n－1))·180°＋α,2n)．,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__12°__．,(第15题图))16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．,(第16题图))17．如图，已知点A(3，0)，B(0，4)，C为x轴上一点．(1)画出等腰三角形ABC.(2)求出C点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A是顶点时，C1(－2，0)，C2(8，0)，②当B是顶点时，C3(－3，0)③当C是顶点时，C4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，0)).(第18题图)18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED.(1)求证：△MED为等腰三角形．(2)求证：∠EMD＝2∠DAC.解：(1)证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴ME＝eq\f(1,2)AB，MD＝eq\f(1,2)AB，∴ME＝MD，∴△MED为等腰三角形．(2)∵ME＝eq\f(1,2)AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE.同理，MD＝eq\f(1,2)AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.(第19题图)19．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC.(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解：(1)证明：∵△ABC为等腰Rt△，∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．∴∠DCA＝∠DCB.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(第19题图解)(2)如解图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.专题练习：全等三角形基础训练1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(D)(第1题图)A.∠A＝∠DB.AB＝DCC.∠ACB＝∠DBCD.AC＝BD2．下列说法正确的是(D)A.两个等边三角形一定全等B.腰对应相等的两个等腰三角形全等C.形状相同的两个三角形全等D.全等三角形的面积一定相等3．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG＝4GE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD.其中正确的个数是(D)A.1B.2C.3D.4(第3题图)4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝eq\f(1,2)GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH.其中，正确的结论有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个(第4题图)5．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)(第5题图)A.1个B.2个C.3个D.4个6．如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA＝FD(不唯一)(只需写出一个即可)．(第6题图)7．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为__4__．(第7题图)8．在△ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝40°．9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌DCE.(2)当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．(第9题图)解：(1)在△ABE和△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AEB＝∠DEC，,AB＝DC，))∴△ABE≌△DCE(AAS)．(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.拓展提高10．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是(A)(第10题图)A.SSSB.SASC.ASAD.AAS11．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带(C)(第11题图)A.①B.②C.③D.①和②12．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连结BE，FE，则∠EBF的度数是(A)A.45°B.50°C.60°D.不确定(第12题图)13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上．若CE＝3eq\r(5)，且∠ECF＝45°，则CF的长为(A)A.2eq\r(10)B.3eq\r(5)C.eq\f(5,3)eq\r(10)D.eq\f(10,3)5(第13题图)14．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②(请写出正确结论的序号)．(第14题图)15．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件AC＝DF(或∠B＝∠DEF或AB∥DE)，使△ABC≌△DEF.(第15题图)16．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是__50__．(第16题图)17．如图，在正方形ABCD的边BA的延长线上作等腰直角△AEF，连结DF，延长BE交DF于点G.若FG＝6，EG＝2，则线段AG的长为4eq\r(2)．(第17题图)18．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)求证：AE＝DF.(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．(第18题图)解：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF.同理∠DAE＝∠FDA.又∵AD＝DA，∴△ADE≌△DAF(ASA)，∴AE＝DF.(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF.又∵∠DAE＝∠FDA，∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形．19．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．(第19题图)解：线段OD，ON，DM之间的数量关系是：OD＝DM＋ON.证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠COB.又∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠COB，∴∠DOC＝∠DCO，∴OD＝CD＝DM＋CM.∵E是线段OC的中点，∴CE＝OE.∵CD∥OB，∴eq\f(CM,ON)＝eq\f(CE,OE)，∴CM＝ON.又∵OD＝DM＋CM，∴OD＝DM＋ON.20．如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC.(第20题图)解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠5.在△ACD中，∵∠ACD＝90°，∴∠2＋∠D＝90°.∵∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠D.在△ABC和△DEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠D，,∠3＝∠5，,BC＝CE，))∴△ABC≌△DEC(AAS)．专题练习：三角形基础训练1．下列长短的三条线段，不能组成三角形的是(A)A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，82．如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(B)A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长(第2题图)3．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于点A，交射线OF于点B.当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小(D)A.OA＝OBB.OP为△AOB的角平分线C.OP为△AOB的高D.OP为△AOB的中线(第3题图)4．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若DE＝8，则线段BD＋CE的长为(D)A.5B.6C.7D.8(第4题图)5．若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足eq\r(a2－9)＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是1＜c＜5．6．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB＝__8__cm.(第6题图)7．若△ABC的高AD长为3，且BD＝6，CD＝2，则△ABC的面积是12或6．8．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若点C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，则该一次函数的表达式为y＝－eq\r(3)x＋eq\r(3)．(第8题图)9．在平面直角坐标系中，已知点A(3，4)，B(4，1)，求△ABO的面积．(第9题图)解：∵点A(3，4)，B(4，1)，∴△ABO的面积为4×4－eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×1×3－eq\f(1,2)×1×4＝6.5.拓展提高10．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连结DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝eq\f(1,3)S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是(D)(第10题图)A.1个B.2个C.3个D.4个11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是(D)A.②③B.②④C.①③④D.②③④(第11题图)12．将一副直角三角尺如图放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数为(D)(第12题图)A.30°B.45°C.60°D.75°13．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上．若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是(C)(第13题图)A.2B.3C.4D.514．如图，在．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是(A)A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5(第14题图)15．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点．若AB＝5，CD＝3，则EF的长是(D)(第15题图)A.4B.3C.2D.116．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①∠DBM＝∠CDE;②S△BDE＜S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.4(第16题图)17．一副三角尺叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为__85°__．(第17题图)18．已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于__9__cm2.19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝__4__．(第19题图)20．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三边的长．(2)设组中最多有n个三角形，求n的值．(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．解：(1)设三角形的第三边长为x.∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，∴7－5＜x＜5＋7，∴2＜x＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一)．(2)∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，∴组中最多有9个三角形，∴n＝9.(3)∵当x＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，∴该三角形周长为偶数的概率是eq\f(4,9).21．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险(参考数据：eq\r(3)≈1.732)?(第21题图)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD，∴AC＝BC＝200海里．在Rt△ACD中，设CD＝x海里，则AC＝2x，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(（2x）2－x2)＝eq\r(3)x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2eq\r(3)x，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(（2\r(3)x）2－（\r(3)x）2)＝3x，又∵BD＝BC＋CD，∴3x＝200＋x，∴x＝100.∴AD＝eq\r(3)x＝100eq\r(3)≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．专题练习：图形的轴对称基础训练1．下列交通标志图案是轴对称图形的是(C)2．下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(B)(第2题图)A.13B.11C.10 D.83．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(C)4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有(C)(第4题图)A.2种B.3种C.4种D.5种5．如图，直线y＝－eq\f(\r(3),3)x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是(A)(第5题图)A.(eq\r(3)，3)B.(eq\r(3)，eq\r(3))C.(2，2eq\r(3))D.(2eq\r(3)，4)6．若点A(m＋2，3)与点B(－4，n＋5)关于y轴对称，则m＋n＝__0__．(第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝71°．8．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标．(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．(第8题图)解：(1)如解图所示△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(－2，－1)．(2)如解图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(1，1)．(第8题图解)9．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH.(2)已知AF＝eq\r(2)，求AD和AB的长．(第9题图)解：(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴EG＝CH.(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝eq\r(2)，∴DG＝FG＝eq\r(2)，DF＝2，∴AD＝AF＋DF＝eq\r(2)＋2.由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠GEF＋∠HEC＝90°，∠AEF＋∠BEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.在△AEF与△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠BEC，,∠A＝∠B＝90°，,AE＝BC，))∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝2eq\r(2)＋2.拓展提高10．如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为(C),(第10题图))A.30°B.45°C.60°D.75°11．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为点E，下列结论不一定成立的是(C)(第11题图)A.AB＝ADB.AC平分∠BCDC.AB＝BDD.△BEC≌△DEC12．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_3_种．(第12题图)13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为eq\f(4,5)．(第13题图)14．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是eq\r(2)．(第14题图)15．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连结B′D.若△AB′D是直角三角形，则BC的长为__4或6__．16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G，点E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．,(第16题图))(1)求证：△ABG≌△C′DG.(2)求tan∠ABG的值．(3)求EF的长．解：(1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C＝∠C′＝∠BAG＝90°，C′D＝AB＝CD，∠BGA＝∠DGC′.在△ABG与△C′DG中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAG＝∠C′，,∠AGB＝∠C′GD，,AB＝C′D，))∴△ABG≌△C′DG.(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，∴GD＝GB.设AG＝x，则GB＝GD＝AD－AG＝8－x.在Rt△ABG中，∵AB2＋AG2＝BG2，即62＋x2＝(8－x)2，解得x＝eq\f(7,4)，∴tan∠ABG＝eq\f(AG,AB)＝eq\f(\f(7,4),6)＝eq\f(7,24).(3)解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD.∴HD＝eq\f(1,2)AD＝4.∴tan∠ABG＝tan∠ADE＝eq\f(7,24).∴EH＝HD×eq\f(7,24)＝4×eq\f(7,24)＝eq\f(7,6).∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线．∴HF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×6＝3.∴EF＝EH＋HF＝eq\f(7,6)＋3＝eq\f(25,6).17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(第17题图)(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为__eq\r(2)__；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1.8或2.5．(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．解：(1)若△CEF与△ABC相似．(第17题图解①)①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如解图①，连结CD.此时点D为AB边中点，AD＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\r(2).②当AC＝3，BC＝4时，有以下两种情况：(第17题图解②)(Ⅰ)若CE∶CF＝3∶4，如解图②所示．∵CE∶CF＝AC∶BC，∴EF∥BC.由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴BC＝5.∴cosA＝eq\f(3,5).AD＝AC·cosA＝3×eq\f(3,5)＝1.8.(第17题图解③)(Ⅱ)若CF∶CE＝3∶4，如解图③所示，连结CD，与EF交于点Q.∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°.∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD.同理可得∠B＝∠FCD，CD＝BD.∴此时AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×5＝2.5.综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1.8或2.5.(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如解图③.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AD.∴∠DCB＝∠B.由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°.∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A.又∵∠ECF＝∠BCA，∴△CEF∽△CBA.专题练习：因式分解一、选择题(每小题6分，共30分)1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为(C)①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．A．3个B．2个C．1个D．0个2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是(D)A．