动力学质点运动微分方程

动力学质点运动微分方程第1页，共47页，2023年，2月20日，星期三第九章质点运动微分方程目录引言

§9-1牛顿定律

§9-2质点运动微分方程

§9-3质点动力学的两类基本问题

第2页，共47页，2023年，2月20日，星期三引言第四篇动力学

动力学研究物体的机械运动与作用在该物体上的力之间的关系。在研究动力学问题中一般选取牛顿的运动三定律作为动力学的基础，并称之为牛顿定律或动力学基本定律。第3页，共47页，2023年，2月20日，星期三力学模型∶质点、刚体和质点系质点：只有质量而无大小的物体。刚体：有质量、不会变形的物体。质点系：由若干个质点组成的、有内在联系的系统。在下面两种情况下，可以把物体视为质点：物体作平移的时候；当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略其大小对问题的性质无本质影响的时候。引言第四篇动力学第4页，共47页，2023年，2月20日，星期三舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞

工程实际中的动力学问题第5页，共47页，2023年，2月20日，星期三

工程实际中的动力学问题若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。若已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和一定的时间隔后才能达到飞离甲板时的速度。第6页，共47页，2023年，2月20日，星期三

工程实际中的动力学问题

棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2第7页，共47页，2023年，2月20日，星期三

工程实际中的动力学问题载人飞船的交会与对接Av1Bv2第8页，共47页，2023年，2月20日，星期三

工程实际中的动力学问题航空航天器的姿态控制第9页，共47页，2023年，2月20日，星期三

工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题第10页，共47页，2023年，2月20日，星期三动力学主要研究以下两类基本问题引言第四篇动力学动力学正问题－已知物体的运动规律，求作用在物体上的力；动力学反问题－已知作用在物体上的力及运动的初始条件，求物体的运动规律。第11页，共47页，2023年，2月20日，星期三牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。

1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。第12页，共47页，2023年，2月20日，星期三★

牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第13页，共47页，2023年，2月20日，星期三

第一定律（惯性定律）

任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态不变。

质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。

事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为平衡力系，则等效于质点不受力。

该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。

9.1牛顿定律第14页，共47页，2023年，2月20日，星期三第二定律（力与加速度关系定律）

质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。即：或由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式为动力学基本方程。当质点同时受几个力的作用时上式中的F

应理解为这些力的合力。9.1牛顿定律第15页，共47页，2023年，2月20日，星期三

该定律表明：

1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。

2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯性大小的度量。9.1牛顿定律第16页，共47页，2023年，2月20日，星期三

在重力场中，物体均受重力作用。物体在重力作用下自由下落所获得的加速度称为重力加速度，用g

表示。由第二定律有式中是物体所受重力的大小，称为物体的重量，是重力加速度的大小。通常取。在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取米、千克和秒；力的单位是导出单位，为牛顿。即：9.1牛顿定律第17页，共47页，2023年，2月20日，星期三

必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。

以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。9.1牛顿定律第18页，共47页，2023年，2月20日，星期三9.2质点运动微分方程

设一质量为m的质点受到力F1，F2，…，Fn作用,沿某曲线轨迹运动。根据牛顿第二定律，得三种形式的微分方程自然坐标形式直角坐标形式矢径形式第19页，共47页，2023年，2月20日，星期三9.3质点动力学的两类基本问题质点动力学的第一类基本问题，是已知质点的运动，求解此质点所受的力。质点动力学的第二类基本问题，是已知作用质点上的力，求解此质点的运动。第20页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例9-1如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为求作用在质点上的力。

解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间t

，得可见质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：例题9.3质点动力学的两类基本问题第21页，共47页，2023年，2月20日，星期三

代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：于是可见，力与矢径共线反向，其大小正比于矢径的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。例题9.3质点动力学的两类基本问题第22页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例质量为1Kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径r＝0.5m,求两绳的拉力。解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。方向指向O点。MOrBA45º60º小球在水平面内作匀速圆周运动。B60ºArOMmgFBFAvan第23页，共47页，2023年，2月20日，星期三

建立自然坐标系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有当时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。B60ºArOMmgFBFAvanbnt第24页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例3从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。解：研究抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程积分后得xyM初始条件为第25页，共47页，2023年，2月20日，星期三

轨迹方程为：由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：第26页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例4

垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。由于所以由直角坐标形式的质点运动微分方程得：由于，将上式改写为解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受地球引力的大小为：第27页，共47页，2023年，2月20日，星期三

分离变量得：设物体在地面发射的初速度为v0，在空中任一位置x处的速度为v，对上式积分得所以物体在任意位置的速度为：可见物体的速度将随x的增加而减小。第28页，共47页，2023年，2月20日，星期三若v0²<2gR，则物体在某一位置x＝R+H时速度将为零，此后物体将回落，H为以初速v0向上发射物体所能达到的最大高度。将x＝R+H及v＝0代入上式可得若v0²>2gR，则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v均不会减小为零，因此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为若取g＝9.8m/s²，R＝6370km，代入上式可得这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。第29页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例5

在重力作用下以仰角a初速度v0抛射出一物体。假设空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即FR＝-Cv，C为阻力系数。试求抛射体的运动方程。解：以物体为研究对象，将其视为质点。建立图示坐标。在任一位置质点受力如图。由直角坐标形式的质点运动微分方程得因为v0vMFRmgOyxaq第30页，共47页，2023年，2月20日，星期三将它们代入运动微分方程，并令，得：这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理论可知，它们的解为求导得其中，C1、C2

、D1、D2为积分常数，由运动初始条件确定。第31页，共47页，2023年，2月20日，星期三当t＝0时，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是质点的运动方程为上式即为轨迹的参数方程，轨迹如图所示。由第一式可知轨迹渐近线为。对于抛射体的射程：当a较大时，，当a

较小时，由运动方程求。v0vMFRmgOyxaq第32页，共47页，2023年，2月20日，星期三

质点的速度公式为由上式可见，质点的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是随着时间的增加而不断减小，当t→∞时，vx→∞；质点的速度在y轴上的投影vy，随着时间的增加，大小和方向都将变化，当t→∞时，vx→g/m，方向铅垂向下。因此，质点的运动经过一段时间后将铅直向下作匀速运动。第33页，共47页，2023年，2月20日，星期三

例6

如图所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置q时对球的约束力。解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：qOlO1Sv0M(+)nt第34页，共47页，2023年，2月20日，星期三

（1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因为所以qOlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得即第35页，共47页，2023年，2月20日，星期三

得：由初始条件：t＝0时，q0＝0，代入上式得将其代入（2）式，得下面将计算结果作进一步的讨论：第36页，共47页，2023年，2月20日，星期三

由(3)得此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。(4)式给出约束力FT随q角的变化规律。当q＝0时，当q＝p时，若令T=0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用qA表示)所满足的条件因此，要使T>0，必须满足。第37页，共47页，2023年，2月20日，星期三即若则因此，在区间范围内，总存在确定的qA值，使小球在这一点不受杆的作用。当q<qA时，FT＞0，即小球受拉；当q>qA时，FT＜0，即小球受压。第38页，共47页，2023年，2月20日，星期三umgs例7：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。求绳作用在小球上的力F(),并分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图

2、确定坐标系

3、建立微分方程

4、求解

5、分析小球运动Fn运动微分方程积分上式可得：第39页，共47页，2023年，2月20日，星期三分析小球微幅摆动的运动规律运动特点：等时性（周期与初始条件无关）初始条件：微分方程的通解确定积分常数第40页，共47页，2023年，2月20日，星期三解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程2、建立直角坐标形式的运动微分方程yxo