2020年山东省新高考数学第十次模拟测试试卷-含解析

2020年新高考数学第十次模拟试卷一、选择题1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x≤3}，则集合（∁RA）∩B＝（）A．{x|x＜3} B．{x|x≤3} C．{x|0＜x＜3| D．|x|0＜x≤3}2．若抛物线，y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，1）到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（，0） B．（0，） C．（1，0） D．（0，1）3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若2S3＝S4+S5，a1＝1，则a6＝（）A．1 B．32 C．64 D．﹣324．已知函数f（x）＝，则＝（）A． B． C．9 D．﹣95．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ＝（）A．1 B． C． D．6．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标不变，先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）＝（）A． B． C． D．7．按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表21：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为（）A． B． C． D．8．已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球O为该正四面体的外接球，则过点E的平面被球O所截得的截面面积的最小值为（）A．π B．3π C．4π D．π二、多项选择题（共4小题）.9．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），则使不等式exf（2x）＜e4f（3x﹣4）成立的充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜2 B．2＜x＜5 C．4＜x＜7 D．1＜x＜410．函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间 B．（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间 C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥AF B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等12．已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，直线l：y＝kx，下列命题中为真命题的是（）A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切 B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切 D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝．14．已知O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且△POF为正三角形，则椭圆C的离心率为15．已知向量＝（1，2），＝（1，1），若与+λ的夹角为直角，则实数λ＝，若与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是．16．在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，则△ABC面积最大值为四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知A＝45°，cosB＝．（1）求cosC的值；（2）若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn﹣an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，求数列{bn}的前n项和Tn⋅19．如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧所在平面相交于BD，AB＝BD＝2，E，F分别为AD，BD的中点C是BD上异于B，D的点，EC＝．（1）证明：平面CEF⊥平面BCD（2）若点C为半圆弧上的一个三等分点（靠近点D），求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．20．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），G为圆H：（x+2）2+y2＝1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E，F，当G点坐标为（﹣1，0）时，△GEF的面积为4．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）当点G在圆H：（x+2）2+y2＝1上运动时，记k1，k2，分别为切线GE，GF的斜率，求||的取值范围．21．设函数．（1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；（2）若关于x的不等式对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．22．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数[0，100）[100，200）[200，300）[300，400）[400，500]天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[100，400）的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）

参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x≤3}，则集合（∁RA）∩B＝（）A．{x|x＜3} B．{x|x≤3} C．{x|0＜x＜3| D．|x|0＜x≤3}【分析】先化简集合，再求交并补．解：∵集合A＝{x|y＝}，∴A＝[3，+∞），∴∁RA＝（﹣∞，3），∵B＝{y|y＝2x，x≤3}，∴B＝（0，8]，∴（∁RA）∩B＝（0，3），故选：C．2．若抛物线，y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，1）到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（，0） B．（0，） C．（1，0） D．（0，1）【分析】由抛物线定义可知，x0+＝1，M（x0，1）代入y2＝2px可得1＝2px0，联立解之可得x0．然后求解抛物线的焦点坐标．解：∵抛物线y2＝2px，p＞0，∴抛物线的准线方程为x＝﹣∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，1）到焦点的距离是1，∴根据抛物线上任一点到焦点F的距离与到准线的距离是相等的，可得x0+＝1，∴p＝2﹣2x0，M（x0，1）代入y2＝2px可得1＝2px0，∴1＝2（2﹣2x0）x0，∴4x02﹣4x0+1＝0，∴x0＝．所以抛物线的焦点坐标（，0）故选：A．3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若2S3＝S4+S5，a1＝1，则a6＝（）A．1 B．32 C．64 D．﹣32【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，根据2S3＝S4+S5，a1＝1，利用求和公式即可得出．解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵2S3＝S4+S5，a1＝1，∴2×＝+，化为：q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2．则a6＝（﹣2）5＝﹣32．故选：D．4．已知函数f（x）＝，则＝（）A． B． C．9 D．﹣9【分析】先由函数的解析式求出f（）＝﹣2，可得要求的式子即f（﹣2）＝3﹣2，运算求得结果．解：由题意可得f（）＝＝﹣2，f[（f（）]＝f（﹣2）＝3﹣2＝，故选：A．5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ＝（）A．1 B． C． D．【分析】通过解直角三角形得到BD＝BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．解：在△ABD中，BD＝＝1又BC＝3所以BD＝∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选：D．6．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标不变，先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）＝（）A． B． C． D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式，变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：函数＝ω＝2sin（ωx﹣），由于函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，故T＝π，所以，整理得．先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移个单位，得到g（x）＝2sin（x+）＝2sin（x﹣）．故选：B．7．按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了2018年中国人口最多的前10大姓氏：表21：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为（）A． B． C． D．【分析】2018年中国人口最多的前10大姓氏中有8个在《百家姓》开头的24大姓氏中，从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，基本事件总数n＝＝276，这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏包含的基本事件个数为：m＝＝156，由此能求出这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率．解：2018年中国人口最多的前10大姓氏中有8个在《百家姓》开头的24大姓氏中，从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取2个姓氏，基本事件总数n＝＝276，这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏包含的基本事件个数为：m＝＝156，则这2个姓氏至少有1个是2018年中国人口最多的前10大姓氏的概率为p＝＝．故选：B．8．已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球O为该正四面体的外接球，则过点E的平面被球O所截得的截面面积的最小值为（）A．π B．3π C．4π D．π【分析】根据题意，利用题中数据算出外接球半径R以及过E点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．解：如图所示，球O为正四面体ABCD的外接球，正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，∵正四面体ABCD的棱长为2，∴正方体的棱长为．可得外接球半径R满足2R＝3，即R＝．E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r＝＝，得到截面圆的面积最小值为S＝πr2＝3π．故选：B．二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出.的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选錯的得0分）.9．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），则使不等式exf（2x）＜e4f（3x﹣4）成立的充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜2 B．2＜x＜5 C．4＜x＜7 D．1＜x＜4【分析】根据，从而得到，根据g（x）单调性可得2x＞3x﹣4，求解得出结果．解：由题意得：，∴故函数．∵exf（2x）＜e4f（3x﹣4），即，∴即g（2x）＜g（3x﹣4），∴2x＞3x﹣4，解得x＜4．故选：AD．10．函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间 B．（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间 C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件，判断正误即可．解：由函数y＝f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1或3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3或x＞5时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5），B正确；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），A正确；f（x）在x＝﹣1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，C错误，D正确．故选：ABD．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥AF B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【分析】举例说明A错误；由线面平行的定义证得线面平行判断B正确；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断C正确；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF与△BEF的面积是否相等．解：对于A，由题意知，当点F与B1重合时，AC与AF所成的角是60°，所以AC⊥AF错误；对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，B正确；对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，C正确；对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，D错误．故选：BC．12．已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，直线l：y＝kx，下列命题中为真命题的是（）A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切 B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切 D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切【分析】利用圆心M到直线l的距离d≤1，判断选项中的命题是否正确即可．解：对于A，θ＝0时，圆M的方程为：（x+1）2+y2＝1，此时y轴为圆M过原点的切线，直线l和圆M不相切，所以A、C错误；对于B，圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1恒过定点O（0，0），直线l：y＝kx也恒过定点O（0，0），所以直线l和圆M有公共点，B正确；对于D，由圆心M（﹣cosθ，sinθ）到直线kx﹣y＝0的距离为：d＝＝≤1，其中α为辅助角，所以对任意实数k，存在θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，D正确．故选：BD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2＝10．【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为Tr+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，得解．解：（2+x）5＝[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为Tr+1（1+x）r，令r＝2得a2＝＝10，故答案为：10．14．已知O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且△POF为正三角形，则椭圆C的离心率为【分析】由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率．解：∵椭圆上存在点P使△POF为正三角形，设F为右焦点，|OF|＝c，P在第一象限，∴点P的坐标为（，c）代入椭圆方程得：，e＝，即∴+＝1，e∈（0，1）解得e＝﹣1．故答案为：．15．已知向量＝（1，2），＝（1，1），若与+λ的夹角为直角，则实数λ＝，若与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是．【分析】可以求出，根据条件知，从而得出，然后即可求出λ的值；根据与的夹角为锐角即可得出，然后解出λ的范围即可．解：，，∴，解得；∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得，且λ≠0，∴λ的取值范围是．故答案为：，．16．在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，则△ABC面积最大值为3【分析】由三角形内角平分线定理得＝，设AC＝x，∠BAC＝2α，则α∈（0，）；利用余弦定理和△ABC面积公式，借助于三角恒等变换求出△ABC面积的最大值．解：△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，如图所示；则CD＝1，由三角形内角平分线定理得＝＝2，设AC＝x，∠BAC＝2α，则AB＝2x，α∈（0，）；由余弦定理得，32＝4x2+x2﹣2•2x•x•cos2α，即9＝5x2﹣4x2cos2α，解得x2＝；∴△ABC面积为S＝•2x•x•sin2α＝x2sin2α＝＝＝＝≤＝3，当且仅当tanα＝时“＝”成立；所以△ABC面积的最大值为3．故答案为：3．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知A＝45°，cosB＝．（1）求cosC的值；（2）若BC＝10，D为AB的中点，求CD的长．【分析】（1）直接利用同角的三角函数求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．解：（1）在△ABC中，已知A＝45°，cosB＝．由于：0＜B＜π，所以：sinB═．cosC＝cos（135°﹣B）＝cos135°cosB+sin135°sinB＝＝﹣．（2）由（1）可得＝．由正弦定理得：，解得：AB＝14．在△BCD中，BD＝7，，解得：CD＝．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn﹣an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，求数列{bn}的前n项和Tn⋅【分析】（1）首先利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用分组法求数列的和．解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣1①．当n＝1时，解得：a1＝1．当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣1②，①﹣②得：an＝3an﹣1，故：（常数），所以：数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．所以：（首项符合通项），故：．（2）数列{bn﹣an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，所以：设cn＝bn﹣an．c1＝b1﹣a1＝1，c3＝b3﹣a3＝14﹣9＝5，则：公差d＝，所以：cn＝2n﹣1．则：，故：，＝，＝19．如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧所在平面相交于BD，AB＝BD＝2，E，F分别为AD，BD的中点C是BD上异于B，D的点，EC＝．（1）证明：平面CEF⊥平面BCD（2）若点C为半圆弧上的一个三等分点（靠近点D），求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【分析】（1）推导出BC⊥BD，△EFC为直角三角形，且EF⊥FC．EF⊥BD．从而EF⊥平面BCD．由此能证明平面CEF⊥平面BCD．（2）由已知∠BFC＝120°，以F为坐标原点，分别以垂直于平面BCD向上的方向，向量所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系F﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）因为C半圆弧上的一点，所以BC⊥BD．在△ABD中，E，F分别为AD，BD的中点，所以，且EF∥AB．于是在△EFC中，EF2+FC2＝1+1＝2＝EF2，所以△EFC为直角三角形，且EF⊥FC．…………因为AB⊥BD，EF∥AB，所以EF⊥BD．………因为EF⊥FC，EF⊥BD，BD∩FC＝F，……所以EF⊥平面BCD．又EF⊂平面CEF，所以平面CEF⊥平面BCD．……解：（2）由已知∠BFC＝120°，以F为坐标原点，分别以垂直于平面BCD向上的方向，向量所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F﹣xyz，则，E（0，0，1），B（0，﹣1，0），A（0，﹣1，2），，，．…………设平面ACE的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，取z1＝1，得＝（，1，1）．…………设平面BCE的法向量＝（x2，y2，z2），则，即，取z2＝1，得＝（）．…………所以cos＜＞＝＝＝，…………又二面角A﹣CE﹣B为锐角，所以二面角A﹣CE﹣B的余弦值为．………20．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），G为圆H：（x+2）2+y2＝1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E，F，当G点坐标为（﹣1，0）时，△GEF的面积为4．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）当点G在圆H：（x+2）2+y2＝1上运动时，记k1，k2，分别为切线GE，GF的斜率，求||的取值范围．【分析】（I）设切线方程为：y＝k（x+1），不妨设k＞0．与抛物线方程联立化为：k2x2+（2k2﹣2p）x+k2＝0，由△＝0，化为：p＝2k2．方程k2x2+（2k2﹣2p）x+k2＝0化为：（x﹣1）2＝0，解得x．可得E坐标，根据△GEF的面积为4，解得k，p．（Ⅱ）设G（x0，y0），（﹣3≤x0≤﹣1），可得＝1﹣．设切线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），与抛物线方程联立化为：ky2﹣4y+4（y0﹣kx0）＝0，△1＝0．可得x0k2﹣ky0+1＝0，利用根与系数的关系可得|k1﹣k2|＝，进而得出结论．解：（I）设切线方程为：y＝k（x+1），不妨设k＞0．联立，化为：k2x2+（2k2﹣2p）x+k2＝0，则△＝（2k2﹣2p）2﹣4k4＝0，化为：p＝2k2．方程k2x2+（2k2﹣2p）x+k2＝0化为：（x﹣1）2＝0，解得x＝1．∴E（1，2k），∵△GEF的面积为4，∴＝4，解得k＝1．∴p＝2．∴C的方程为：y2＝4x．（Ⅱ）设G（x0，y0），（﹣3≤x0≤﹣1），则＝1﹣．设切线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），联立，化为：ky2﹣4y+4（y0﹣kx0）＝0，△1＝16﹣16k（y0﹣kx0）＝0．∴x0k2﹣ky0+1＝0，∴k1+k2＝，k1k2＝．∴|k1﹣k2|＝＝＝．∴||＝＝＝＝∈[2，2]．∴||的取值范围是[2，2]．21．设函数．（1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；（2）若关于x的不等式对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，根据导数和函数最值得关系即可证明，（2）构造函数h（x）＝﹣a（x﹣1），x＞1，求导，再分类讨论，利用函数单调性和函数最值得关系即可求出【解答】证明：（1）f（x）＝lnx﹣（1﹣），∴f′（x）＝﹣＝，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝ln1﹣（1﹣）＝0，∴当x＞1时，f（x）＞0．解：（2）设h（x）＝﹣a（x﹣1），x＞1，∴h′（x）＝﹣a＝，当a≥1时，1﹣ax2＜0，lnx＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0恒成立，当a≤0时，x∈（1，+∞）上有h（e）＝﹣a（e﹣1）＞0，故不合题意，当0＜a＜1时，∵lnx＞1﹣对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴h（x）＝﹣a（x﹣1）＞﹣﹣a（x﹣1）＝﹣a（x﹣1）＝（1﹣ax2），∴当x∈（1，）时，h（x）≥0，故不合题意，综上所述a≥1．22．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数[0，100）[100，200）[200，300）[300，400）[400，500]天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[100，40