浅谈行列式在平面几何中的应用

青海民族大学毕业论文浅谈行列式在平面几何中的应用摘要摘要:本文是根据行列式在解析几何中的应用与特点进行的相关讨论与探究。借助行列式在解决平面几何中的共点、共线、方程互化等相关问题的同时，从而把握了行列式在解析几何中应用的优点。通过分析研究，归纳总结出了行列式对于研究解析几何中的重要意义。

关键词:

行列式，

解析几何，

平面几何，代数AbstractThedeterminantintheapplicationofplanegeometryAbstract:Thisarticleisbasedonthecharacteristicsofdeterminantintheapplicationofanalyticgeometryandtherelateddiscussionandexploration,withthehelpofdeterminantinsolvingtherelatedproblemsinplanegeometry,andintroducestheapplicationofdeterminantinanalyticgeometry.Throughanalysisandresearch,theauthorsummarizesthesignificanceofdeterminantinthestudyofanalyticgeometry.Keywords:determinant,analyticgeometry,planegeometry,algebra.引言行列式的概念最初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的。行列式的提出一般可以追随到十七世纪，而最初的雏形是由日本数学家关孝和以及德国的数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立的得出，在时间上大致相同。日本数学家关孝和于1683年写的一部名为“解伏题之法”的著作，意为“行列式问题的解决方法”，书中对行列式的概念以及它的展开已经有非常清楚的叙述。在欧洲，第一个提出行列式概念德国数学家，也就是微积分学奠基人之一——莱布尼茨。

另外，在1545年，卡当的著作《大术》中也给出了一种关于解两个一次方程的方法。而这种方法在后来就演变成了行列式。行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，它作为基本的数学工具，无论是在几何、线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，它都有着极其重要的应用。

在解析几何中，有很多问题的解决都需要用到高等代数中的行列式的知识，行列式就是解决解析几何问题的重要桥梁。因此行列式与矩阵得知识可以帮助我们更加深入和广泛地研究解析几何的问题。

行列式的有关定义定义1.1n级行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积（1）的代数和，这里是1,2，...，n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当时偶排列时，（1）带有正号；当是奇排列时，（1）带有负号。这一定义可以写成=，其中表示对所有n级排列求和。定义1.2在行列式中划去元素所在的第i行与第j列，剩下的个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式称为元素的余子式两向量共线问题定理2.1=0是经过不同两点P(,y),P()的直线的方程。证明：由行列式的定义知=eq\o\ac(○,1)而由解析几何知识，知过两点P(,y),P()的直线的方程为，化简即eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)的两边同时消去，并将左式移到右边，得与一式相同。命题得证。两向量共线问题定理2.2设为两不共线的向量，证明向量共线的充要条件是=0证：由于两向量共线的充要条件是存在不全为零的数使即因为为两不共线的向量，也就是两向量线性无关.所以又因为不全为零，从而得向量与共线的充要条件为=03.三向量共面问题定理3.1三向量，，共面的充要条件是＝=0证：由于=++根据数量积的坐标表示法，得==++=通过研究混合积我们知道三向量的混合积最终可以表示为一个行列式，要说明三向量共面，我们只需再证明它们的坐标构成的行列式的值为零.由于三向量共面的充要条件是存在不全为0的数使得，=0由此可得，①②③因为不全为零，所以即，三向量共面的充要条件是＝定理3.2平面上三点(,y)，（)，共线的充要条件是=0。证明：可利用定理：三顶点为(,y)，（)，的三角形面积S=，在同一平面内，若三点共线则无法构成三角形，故S=0。可得结论三点共线的充要条件是=0。4.三直线共点推论4.1方程，，表示三直线共点的必要条件是=0证明:设直线方程因为与的交点坐标可由解得：，，若与，共点,则与的交点坐标满足方程。所以，，即=0，推论4.2双曲线的一条渐近线和经过焦点而垂直于这条渐近线的直线以及与这焦点相应的准线三线必共点。证明：设双曲线，它的一条渐近线为，则经过焦点而垂直于的直线为，与焦点相应的准线为因为而且，以上三直线斜率互不相等，互不平行，必然相交。所以，以上三直线必相交于一点。5.两直线在同一平面上的判定定理5.1直线与在同一平面上的充要条件是=0证：由通过的任意平面=0其中是不全为零的任意实数，而通过的任一平面为=0其中是不全为零的任意实数。因此两直线在同一平面上的充要条件是存在不全为零的实数与使得以上两平面表示一个相同的平面，那么就存在一个不为零的数因子，即化简整理得所以因为不全为零，所以得=0而，因此两直线共面的充要条件为=0即，=06.应用行列式的知识计算距离定理6.1设,则它们之间的距离计算公式是证：设两异面直线与它们的公垂线的交点分别为,而分别为直线上的任意点，于是公垂线的长于是为两异面直线的的距离，即,其中分别为两异面直线上的已知点，而两异面的方向向量与的向量积显然平行于公垂线，所以是公垂线的一个方向向量，因此有如果用坐标表示就是7.行列式知识在直线一般方程与标准方程互化中的应用设有两个平面与，存在如果,即方程组的系数行列式,,不全为零，那么平面与相交，它们的交线设为如果我们令为直线上一点，则直线的方向向量就是,,，于是,直线的标准方程为=8.运用行列式解决平面几何的相关问题例1一般方程与标准方程互化化直线的一般方程为标准方程解：因为直线的方向数为：：=-4:8:0=1：（-2）：0再设，解得，那么（0,4,1）为直线上的一点，所以直线的标准方程为例2三直线共点求通过点且与两直线，都相交的直线的方程。解：设所求直线的方向向量为,那么所求直线的方程可写成因为都相交，而且过点，方向向量为，过点，方向向量为。所以有,即，即又上两式的显然又有，即，即所以所求直线的方程为例3借助行列式求平面几何中通过定点的曲线方程三角形的顶点为A(3,3),B（-1，-5），C（-6,0），求它的AB边的中线方程。解：因为AB边的中点为（1，-1），C（-6,0），由定理1结论知AB边的中线方程为=0，即所求中线方程为。例4借助行列式求平面上三点所围成三角形的面积在以A（1,1），B（8,4），C（3,10）为顶点的三角形内线一点P，使它与各顶点的连线构成的三个三角形PAB,PBC,PCA的面积相等。解：设点P位为（x，y），则三角形PAB，PBC，PCA的各顶点都是按逆时针方向排列的，所以有：解得故所求的点是（4，5）。例5借助行列式解决平面几何中的共线问题（1）过三点是否可以确定一个平面？解：由A，B，C三点在同一直线上，故不能确定一个平面。（2）已知直线经过两条直线和的交点，求K的值。解：因为直线与和共点，所以，结论行列式是高等代数的一个重要内容，对数学能力的培养具有重要的作用，为许多课程打下了基础。而代数与几何之间有许多相通之处，在行列式的学习中融入解析几何思想，可以使代数更为直观，方便掌握的同时可以更好地帮助我们解决在解析几何中所遇到的困难。在学习解析几何中，我们经常遇到的一些几何问题。如：求通过定点的曲线方程，求平面上的三点是否共线，求平面上三点所围成三角形的面积等等。像这些问题一般我们都只是运用几何的知识加以解答。但是，如果借助行列式来研究这些问题，可以更清楚而快捷的解决。通过上面几个简单的例题介绍，明白行列式在解析几何中有着广泛地应用，它使得对几何问题的讨论变得简洁明了，从而加深了代数与几何之间的融入和理解。总之，随着科学技术的迅猛发展及其数学化的趋势，行列式在初等数学中的应用必将越来越广泛。致谢通过这一阶段的努力，我的毕业论文终于完成了，这意味着大学生活即将结束。非常感谢申世昌老师，以及班主任吕盛梅在我大学的最后学习阶段——毕业论文阶段给的指导，在本论文的写作过程中，我的导师倾注了大量的心血，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，他们给了我耐心的指导和无私的帮助。为了指导我们的毕业论文，他们放弃了自己的休息时间，这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在此我表示诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，不仅教会了我专业知识，而且教会了我如何学习。正是由于他们，我才能在各方面取得进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下!参考文献王仁发，高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社。吕林根，许子道，解析几何（第四版），高等教育出版社。巩子坤，解析几何[M]，西南师范大学出版社，2004。[1]吕林根，